математический-анализ - Доказать, что (основные теоремы дифференцируемых функций)

В первом случае просто считаешь производную и видишь, что при стремлении $%x$% к нулю она ни к чему не стремится.
Во втором - рассмотрим какую-нибудь точку $%x \in (a,b)$% и её окрестность. Т.к. функция везде диффференцируема, к любому отрезку $%[x, x+δ]$% можно применить теорему Лагранжа, а именно (из существования предела производной справа) $%\left|\dfrac{f(x+δ)-f(x)}{δ} - A\right|<ε,$% т.е. существует правая производная в точке х. Так же доказывается существование левой производной.
Если она равна правой, уже видно, что в точке х существует производная и равна она этим двум, т.е. $%f'$% непрерывна в точке х. Если же они не равны, значит, в х нет производной.