1. Доказать, что функция $% f(x) = \left\{ \begin{eqnarray} & x^2 \sin\frac{1}{x} ,& x & \not= &0, \\ & 0, & x & = & 0. \end{eqnarray} \right. $% всюду дифференцируема, но её производная имеет разрыв в точке $% x = 0.$%
  2. Доказать, что если $%f $% дифференцируема на $% (a; b) $%, то производная $% f'(x) $% может иметь разрыв только второго рода.

задан 21 Янв '14 6:23

изменен 21 Янв '14 6:28

10|600 символов нужно символов осталось
0

В первом случае просто считаешь производную и видишь, что при стремлении $%x$% к нулю она ни к чему не стремится.
Во втором - рассмотрим какую-нибудь точку $%x \in (a,b)$% и её окрестность. Т.к. функция везде диффференцируема, к любому отрезку $%[x, x+δ]$% можно применить теорему Лагранжа, а именно (из существования предела производной справа) $%\left|\dfrac{f(x+δ)-f(x)}{δ} - A\right|<ε,$% т.е. существует правая производная в точке х. Так же доказывается существование левой производной.
Если она равна правой, уже видно, что в точке х существует производная и равна она этим двум, т.е. $%f'$% непрерывна в точке х. Если же они не равны, значит, в х нет производной.

ссылка

отвечен 22 Янв '14 7:05

@trongsund: по поводу второго примера Ваше рассуждение непонятно. Что при этом доказывается? Ведь про функцию $%f$% уже известно наличие производных -- как правой, так и левой.

(22 Янв '14 11:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,794
×104

задан
21 Янв '14 6:23

показан
937 раз

обновлен
22 Янв '14 11:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru