Дана функция f(x) = sqrt((a^2)(x^2) + 9x) – sqrt(x^2 – ax) с положительным параметром а. Найти минимальное возможное положительное значение свободного члена наклонной асимптоты этой функции. Мои рассуждения: уравнение наклонной асимптоты y = kx + b. k = lim(при х стремящемся к бесконечности) от f(x)/x =lim ((sqrt((a^2)(x^2) + 9x) – sqrt(x^2 – ax))/x). Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение и разделим на старшую степень х, т.е. на х и получим lim(a^2 + 9/x – 1 + a/x)/ (sqrt((a^2) + 9/x) + sqrt(1 – a/x)) = (a^2 – 1)/(a + 1) = a – 1. Свободный член наклонной асимптоты b = lim(при х стремящемся к бесконечности) от( f(x) – kx) = lim ((sqrt((a^2)*(x^2) + 9x) – sqrt(x^2 – ax) – (ax – x)). Выражение с корнями умножим и разделим на сопряженное, а затем его же разделим на х. Получим: lim((a^2х + 9 – х + a)/ (sqrt((a^2) + 9/x) + sqrt(1 – a/x)) – ax + x). Чтобы предел был конечным числом необходимо, чтобы а = 1, тогда получается lim((1 + 9 – 1 + 1)/ ((1 + 9/x) + sqrt(1 – 1/x)) – x + x) = 10/(sqrt((1)+sqrt(1)) = 10/2 = 5. Можно так решать или все-таки это неверно.

задан 21 Янв '14 17:34

изменен 21 Янв '14 22:34

@serg55 По-моему тут ошибка "Получим: lim((a^2 + 9 – 1 + a)/ (sqrt((a^2) + 9/x) + sqrt(1 – a/x)) – ax + x)." У меня получается lim((a^2x+9–x+a)/(sqrt((a^2)+9/x)+sqrt(1–a/x))–ax+x).

(21 Янв '14 19:45) aid78

@aid78: Вы правы, я исправил. Спасибо.

(21 Янв '14 22:35) serg55
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$k=lim(f(x)/x)=lim(\sqrt{a^2x^2+9x}-\sqrt{x^2-ax})/x=a-1$$ $$b=lim(f(x)-kx)=lim(\sqrt{a^2x^2+9x}-\sqrt{x^2-ax}-ax+x)=$$ $$=lim(ax\sqrt{1+9/(a^2x)}-x\sqrt{1-a/x}-ax+x)=$$ По формуле Тейлора корни заменяем: $$lim(ax(1+9/(2a^2x)-81/(8a^4x^2))-x(1-a/(2x)-a^2/(8x^2))-ax+x)=$$ $$=lim(ax+9/(2a)-81/(8a^3x)-x+a/2+a^2/(8x)-ax+x)=$$ $$=lim(9/(2a)-81/(8a^3x)+a/2+a^2/(8x))=9/(2a)+a/2$$ Находим минимальное значение $$g(a)=9/(2a)+a/2$$ $$g'(a)=-9/(2a^2)+1/2$$ $$a^2=9$$ при $$a=3$$ минимальное значение функции $$g_{min}=3$$

ссылка

отвечен 21 Янв '14 18:33

@aid78: Это задача из школьной программы и вряд ли там может быть использована формула Тейлора.

(21 Янв '14 19:16) serg55

@serg55: Вы правы, но в рамках школьной программы можно использовать её "заменитель" в виде преобразования разности корней. Или можно вывести неравенства типа $%1+t/2-t^2/8\le\sqrt{1+t}\le1+t/2$%, по сути дающие несколько первых членов разложения в ряд. Неравенства можно доказать или возведением в квадрат, или при помощи производной (для малых значений $%t\ge0$%). Аналогично анализируется $%\sqrt{1-t}$%.

(21 Янв '14 19:39) falcao

@falcao: Я пытаюсь разобраться с приведенными Вами неравенствами и получается, что они справедливы только в определённой области значений t. После возведения в квадрат и приведения подобных получаем t^4-8t^3-16t^2<=0. А это неравенство имеет решения не для всех t. Или я чего-то не понимаю, если не сложно объясните более подробно, а то голова пухнет. Заранее благодарен.

(21 Янв '14 20:11) serg55

@serg55: нам достаточно того, что эти неравенства справедливы для достаточно близких к нулю значений $%t$% -- как и в случае формулы Тейлора. Конечно, никто не утверждает, что они верны для всех $%t$%. При возведении в квадрат у Вас, судя по всему, появился один лишний член. Там должно быть $%(1+t/2-t^2/8)^2=1+t-(t/2)^3+(t/2)^4$%. Вообще, в этой задаче можно разности корней преобразовывать по принципу $%\sqrt{a}-\sqrt{b}=(a-b)/(\sqrt{a}+\sqrt{b})$%, и этой техники по идее достаточно.

(21 Янв '14 20:31) falcao

@falcao: Если преобразовать разность корней, как Вы предлагаете, т.е. умножить и разделить на сопряженное, то получится следующее: b = lim((a^2x^2+9x–x^2+ax)/(sqrt((a^2x^2)+9x)+sqrt(x^2–ax))–ax+x). Тогда в числителе степень х равна 2,а в знаменателе х в первой степени и тогда предел равен бесконечности. И чтобы предел был конечной величиной необходимо, чтобы х^2 в числители не было, а для этого а^2=1 и тогда а=1 и b=lim((9x+x)/(sqrt(x^2+9)+sqrt(x^2-x))-x+x). В дроби разделим на х числитель и знаменатель и получим b=lim(10/sqrt(1+9/x)+sqrt(1-1/x))=10/2=5. Где я неправ, где ошибка?

(22 Янв '14 14:31) serg55
1

@serg55. Хочу попробовать ответить на Ваш комментарий. Вы писали: "Тогда в числителе степень х равна 2,а в знаменателе х в первой степени и тогда предел равен бесконечности." Так и есть предел дроби и должен быть бесконечностью. Конечный предел получается не в самой дроби , а при раскрытии неопределенности "infinity-infinity", то есть с учетом –ax+x. То есть нельзя сначала определять значение параметра а до учета двух последних слагаемых и раскрытия "infinity-infinity".

(22 Янв '14 17:08) aid78

@serg55: как отметил @aid78, там надо всё к общему знаменателю привести, учтя -ax+x. Тогда в числителе снова появятся корни, и с ними стандартно действуем так: выделяем "главную часть" (она сразу видна), и представляем корень в виде суммы гл.ч. и разности корня и его гл.ч. Разность тут же преобразуем по тому же принципу, как и выше, то есть как разность квадратов, делённую на сумму. После двух или трёх таких преобразований все неопределённости должны разрешиться.

(22 Янв '14 17:55) falcao

@serg55: я помнил, что где-то отвечал на вопрос похожего содержания -- там требовалось преобразовать выражения с корнями. Сейчас отыскал ссылку. Идея этого способа преобразований там должна быть так или иначе видна.

(22 Янв '14 18:03) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,849

задан
21 Янв '14 17:34

показан
1562 раза

обновлен
22 Янв '14 18:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru