Найдите семь попарно различных натуральных чисел, сумма обратных величин которых была бы равна 1 ( я пробовал тих обозначит соответственно a,b,....) но что то дальше не выходит

задан 21 Янв '14 19:33

изменен 21 Янв '14 22:36

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
4

Там решений очень много, и их целиком описывать довольно затруднительно, поэтому достаточно серии примеров. Будем исходить из того, что $%\frac12+\frac13+\frac16=1$%. Далее домножим слагаемое $%\frac16$% на единицу, представленную в виде такой же суммы: $$1=\frac12+\frac13+\frac16\cdot\left(\frac12+\frac13+\frac16\right)=\frac12+\frac13+\frac1{12}+\frac1{18}+\frac1{36}.$$ Чисел стало пять, и если с $%\frac1{36}$% проделать то, что проделали с $%\frac16$%, то их станет семь.

ссылка

отвечен 21 Янв '14 19:47

я так и знал что их много , я просто там подобрал не логично и совпала, но не придумал пока решение нормальное итд

(21 Янв '14 19:48) parol
1

Можно построить примеры для любого числа слагаемых, начиная с 3, а не только для нечетного. Если в примере для $%k$% слагаемых последнее (с наибольшим знаменателем) равно $%\frac1n$%, то заменяем его на $%\frac1{n+1}+\frac1{n^2+n}$% - получаем пример для $%k+1$% слагаемого.

(29 Июн '15 11:17) knop

Более интересная задача представить $%1$% в виде $$\sum_{k=1}^n\frac1{a_k},$$ где $%a_k$% - попарно различные нечётные натуральные числа, и найти наименьшее возможное $%n$%.

(29 Июн '15 12:56) EdwardTurJ
1

$%n=9$%. $%\frac13+\frac15+\frac17+\frac19+\frac1{11}+\frac1{15}+\frac1{21}+\frac1{165}+\frac1{693}=1$%. Для $%n=7$% умею доказывать невозможность, а сумма меньшего числа слагаемых, обратных нечетным числам, просто меньше 1.

(29 Июн '15 13:29) knop

Ну и дальше индукция $%x \to (5x/3, 3x, 15x)$%, где $%x$% - знаменатель последней дроби.

(29 Июн '15 13:31) knop

@knop: Приведите, пожалуйста, доказательство для $%n=7$% или ссылку на доказательство.

(29 Июн '15 13:36) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: может быть, это имеет смысл оформить как отдельный вопрос? Задача звучит интересно.

(29 Июн '15 17:13) falcao
1

$$\frac1{n_6}+\frac1{n_7}=1-(\frac13+\frac15+\frac17+\frac19+\frac1{11})>\frac2{17}$$ откуда $%n_7$%<17. Для $%n_6=13$% получаем $$\frac1{n_7}=1-(\frac13+\frac15+\frac17+\frac19+\frac1{11}+\frac1{13})=\frac{2021}{45045},$$ что невозможно. А для $%n_7=15$% получаем $$\frac1{n_7}=1-(\frac13+\frac15+\frac17+\frac19+\frac1{11}+\frac1{15})=\frac{191}{3465},$$ что также невозможно. Поэтому первые пять слагаемых не могут быть наименьшими нечетными. Но тогда $$\frac1{n_6}+\frac1{n_7}\ge1-(\frac13+\frac15+\frac17+\frac19+\frac1{13})>\frac2{15},$$ что также невозможно, так как $%13<n_6<15$%.

(29 Июн '15 17:17) knop

Сорри, там длина комментария добралась до потолка. Но я надеюсь, что все существенное изложил. Вначале предполагаем, что первые пять знаменателей - наименьшие возможные, доказываем, что при этом предположении нет решений, потом опровергаем и все прочие варианты

(29 Июн '15 17:20) knop

@knop: Спасибо.

(29 Июн '15 17:49) EdwardTurJ
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,299
×3,504
×1,104
×521

задан
21 Янв '14 19:33

показан
3704 раза

обновлен
29 Июн '15 17:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru