параметр - При каких значениях a уравнение имеет единственную пару решений

Нулевое решение есть всегда, поэтому надо понять, при каких $%a$% имеются ненулевые решения. Для всякого решения $%(x;y)$% и для любого коэффициента $%k\ge0$% решением будет также пара $%(kx;ky)$%. Если решение было ненулевым, то $%x+y > 0$%, и можно домножить обе координаты на $%k=\frac1{x+y}$%, получая решение, сумма координат которого равна $%1$%. Тогда, при $%x+y=1$%, имеем $%a=\sqrt{2x}+\sqrt{1-x}$%. В итоге надо найти множество значений функции $%f(x)=\sqrt{2x}+\sqrt{1-x}$% на отрезке $%x\in[0;1]$%, и все такие $%a$% исключить. Это делается стандартно при помощи производной. Критической точкой будет $%x=2/3$%, и значение функции в неё равно $%\sqrt3$%. На концах отрезка значения равны $%1$% и $%\sqrt2$%. Следовательно, при $%a\in[1;\sqrt3]$% уравнение имеет ненулевые решения, а при $%a\in(-\infty;1)\cup(\sqrt3;+\infty)$% -- только нулевое.