|
Дан треугольник АВС, АВ = 4, ВС = 5, АС = 6. На стороне ВС взята точка К так, что ВК = 1/2 . На стороне АС взята точка М так что СМ = 27/8 . Найти расстояние d между центрами окружностей , описанных вокруг треугольников АВК и АКМ. В ответе указать число равное 4d. задан 23 Янв '14 20:52 
Chachacha |
|
Треугольник $%ABC$% является остроугольным, так как $%6^2 < 4^2+5^2$%. Отсюда следует, что основания высот находятся на сторонах, а не на их продолжениях. Опустим высоту $%AA_1$%, и пусть она делит отрезок $%BC$% на части длиной $%x$% и $%y$%. С одной стороны, $%x+y=5$%. С другой стороны, ввиду теоремы Пифагора, применённой к треугольникам $%ACA_1$% и $%ABA_1$% с общей высотой, $%6^2-x^2=AA_1^2=4^2-y^2$%. Следовательно, $%x^2-y^2=20$%, то есть $%x-y=20/5=4$%, откуда $%x=9/2$% и $%y=1/2$%. Последнее означает, что $%K=A_1$%, то есть треугольник $%ABK$% прямоугольный, и центр описанной около него окружности является серединой гипотенузы $%AB$%. Теперь опустим высоту $%BB_1$%, и тем же методом найдём $%CB_1=15/4$%, $%B_1A=9/4$%. Из этого следует, что $%MB_1=15/4-27/8=3/8$%, что составляет $%1/10$% от $%CB_1$%. Точно так же, $%KB$% составляет $%1/10$% от $%CB$%. Из этого можно сделать вывод, что прямые $%KM$% и $%BB_1$% параллельны, а потому треугольник $%AKM$% также прямоугольный. И центр описанной около него окружности есть середина гипотенузы $%AK$%. Таким образом, $%d$% есть длина средней линии треугольника $%ABK$%, откуда $%d=BK/2=1/4$%. отвечен 23 Янв '14 23:19 
falcao |
@Chachacha, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.