Определим функцию $%f(x)$% следующим образом. 1) $%f(x)$% определена на всей $%R$%. 2) $%f(x$%) не является константой. 3) Для любых $%x_1$%, $%x_2$% выполняется условие $%f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$%. Можно ли доказать, что $%f(x)$% - экспонента, т.е. вывести из этого определения все свойства экспоненты, включая монотонность, непрерывность, бесконечную дифференцируемость и т.д.? Корректировка вопроса в связи с ответом @DocentI. Добавим еще одно свойство 4) $%f(x)$% непрерывна в нуле. Будет ли в этом случае следовать бесконечная дифференцируемость на всей $%R$% ? задан 19 Мар '12 14:28 Андрей Юрьевич |
$%f(0)=f(0+0)=f^2 (0) \Rightarrow$% $% f(0)=0 $% или $% f(0)=1 $%. При $% f(0)=0$% имеем ,что $% f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0 $% при каждой x. Это озночает что$% f(x)\equiv 0$%. Это противоречит условию задачи значит $% f(0)=1$%. $% f(x)f(-x)=f(0)=1 \Rightarrow f(-x)=\frac{1}{f(x)}$% и $% f(x)\ne0 $%, при любой $% x\in R.$% По методу математической индукции легко доказать, что $% f(x_1+x_2+x_3+...+x_n)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)...f(x_n)$% и $% f(nx)=f^n(x)$% $% n\in N , x\in R$% Обозначим $% f(1)=a$%. $% a=f(1)=f(n.\frac{1}{n})=f^n(\frac{1}{n})$% при любой (в том числе и четной) $% n\in N \Rightarrow а>0 .$% Теперь легко доказать, что
Теперь докажем, что 4. $% f(x)=a^x ,$% при $% x\in R$%. Пусть функция непрерывна в точке 0. Докажем что в любой иррационалной точке x тоже $% f(x)=a^x. $% Для x существует последователность рациональных чисел $% r_n \rightarrow x.$% Тогда $%(r_n-x) \rightarrow 0.$% И ввиду непреривности в точке 0, имеем $%limf(r_n-x)=f(0)=1.$% Так-как $% f(r_n-x)=\frac{f(r_n)}{f(x)}, $% то имеем $%lim\frac{f(r_n)}{f(x)}=1\Leftrightarrow limf(r_n)=f(x). $% И так $% f(x)=lima^{r_n}=a^x $% (согласно определению действительной степени). От 1)-4) следует, что $%f(x)=a^x $% при каждой $% x\in R$%. При а=1, функция будет постоянной. Значит $% а\ne1$% и $% а>0. $% Значит у нас показательная функция ( в частности экпоненциальная- $%y=e^x . $%) Отссюда следуют и все вышеперечисленные свойства. отвечен 19 Мар '12 15:19 ASailyan Попробую доказать что$% a>0,a\ne1$% и что функция непрерывна.
(19 Мар '12 15:33)
ASailyan
Согласен. Теперь самое интересное - непрерывность.
(19 Мар '12 15:36)
Андрей Юрьевич
Доказала что a>0.См. ответ.
(19 Мар '12 19:12)
ASailyan
С непрерывностью на R согласен. А как быть с дифференцируемостью?
(21 Мар '12 11:21)
Андрей Юрьевич
А какая проблема с дифференцируемостью функции $%y= а^x $%. $% y^{(n)}=a^xln^na$%
(21 Мар '12 11:50)
ASailyan
Не хотите, не принимайте, но я давольна моей работой.
(21 Мар '12 11:59)
ASailyan
Почему же не принять? Работа, действительно, хорошая. Просто, читая чужие рассуждения, я кое-что уясняю для себя. В данном случае, мне было интересно, как Вы будете рассуждать по поводу дифференцируемости. Напрямую из Ваших выводов она не следует.
(21 Мар '12 17:13)
Андрей Юрьевич
показано 5 из 7
показать еще 2
|
Насколько я помню, подобное уравнение в аддитивном варианте дает линейную функцию, но непрерывность надо требовать отдельно! Она не следует из функционального уравнения! Эти две задачи сводятся друг к другу. Так как f(x)>0, можно рассматривать функцию g(x)=ln f(x). Для g выполняется свойство g(x + y) =ln f(x+y) = ln f(x) + ln f(y) = g(x) + g(y). Имеем $%g(\frac{m}{n}x)=\frac{m}{n}g(x)$%. Значит, для всех аргументов, отношение которых является рациональным, g(x)=ax, но коэффициент a может быть своим для каждой группы "рационально связанных" чисел. Это уравнение называется уравнение Коши. Построить конструктивно пример аддитивной разрывной функции невозможно, хотя они и существуют. Этому были посвящены серьезные исследования. При построении примера используется аксиома выбора, см. здесь. График полученной функции всюду плотно заполняет плоскость! отвечен 19 Мар '12 19:43 DocentI Но задача остается. Если эта функция может не быть экспонентой, тогда хотелось бы получить пример такой функции g(x)=?
(19 Мар '12 21:33)
Андрей Юрьевич
Спасибо за информацию. Я об этом не знал. Нужно все это хорошо обдумать.
(20 Мар '12 0:29)
Андрей Юрьевич
А нам это где-то рассказывали. Только не помню, где. В универе? Или на математическом кружке?
(20 Мар '12 0:31)
DocentI
|
См. в моем ответе.