Определим функцию $%f(x)$% следующим образом.

1) $%f(x)$% определена на всей $%R$%.

2) $%f(x$%) не является константой.

3) Для любых $%x_1$%, $%x_2$% выполняется условие $%f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)$%.

Можно ли доказать, что $%f(x)$% - экспонента, т.е. вывести из этого определения все свойства экспоненты, включая монотонность, непрерывность, бесконечную дифференцируемость и т.д.?

Корректировка вопроса в связи с ответом @DocentI. Добавим еще одно свойство

4) $%f(x)$% непрерывна в нуле.

Будет ли в этом случае следовать бесконечная дифференцируемость на всей $%R$% ?

задан 19 Мар '12 14:28

изменен 18 Май '12 1:11

См. в моем ответе.

(20 Мар '12 22:12) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
2

$%f(0)=f(0+0)=f^2 (0) \Rightarrow$% $% f(0)=0 $% или $% f(0)=1 $%. При $% f(0)=0$% имеем ,что $% f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0 $% при каждой x. Это озночает что$% f(x)\equiv 0$%. Это противоречит условию задачи значит $% f(0)=1$%.

$% f(x)f(-x)=f(0)=1 \Rightarrow f(-x)=\frac{1}{f(x)}$% и $% f(x)\ne0 $%, при любой $% x\in R.$% По методу математической индукции легко доказать, что $% f(x_1+x_2+x_3+...+x_n)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)...f(x_n)$% и $% f(nx)=f^n(x)$% $% n\in N , x\in R$%

Обозначим $% f(1)=a$%.

$% a=f(1)=f(n.\frac{1}{n})=f^n(\frac{1}{n})$% при любой (в том числе и четной) $% n\in N \Rightarrow а>0 .$%

Теперь легко доказать, что

  1. $% f(x)=a^x ,$% при $% x\in N $%

  2. $% f(x)=a^x, $% при $% x\in Z $%

  3. $% f(x)=a^x ,$% при $% x\in Q $%

Теперь докажем, что 4. $% f(x)=a^x ,$% при $% x\in R$%.

Пусть функция непрерывна в точке 0. Докажем что в любой иррационалной точке x тоже $% f(x)=a^x. $% Для x существует последователность рациональных чисел $% r_n \rightarrow x.$% Тогда $%(r_n-x) \rightarrow 0.$% И ввиду непреривности в точке 0, имеем $%limf(r_n-x)=f(0)=1.$%

Так-как $% f(r_n-x)=\frac{f(r_n)}{f(x)}, $% то имеем $%lim\frac{f(r_n)}{f(x)}=1\Leftrightarrow limf(r_n)=f(x). $%

И так $% f(x)=lima^{r_n}=a^x $% (согласно определению действительной степени). От 1)-4) следует, что $%f(x)=a^x $% при каждой $% x\in R$%. При а=1, функция будет постоянной. Значит $% а\ne1$% и $% а>0. $% Значит у нас показательная функция ( в частности экпоненциальная- $%y=e^x . $%) Отссюда следуют и все вышеперечисленные свойства.

ссылка

отвечен 19 Мар '12 15:19

изменен 12 Май '12 16:11

Попробую доказать что$% a>0,a\ne1$% и что функция непрерывна.

(19 Мар '12 15:33) ASailyan

Согласен. Теперь самое интересное - непрерывность.

(19 Мар '12 15:36) Андрей Юрьевич

Доказала что a>0.См. ответ.

(19 Мар '12 19:12) ASailyan

С непрерывностью на R согласен. А как быть с дифференцируемостью?

(21 Мар '12 11:21) Андрей Юрьевич

А какая проблема с дифференцируемостью функции $%y= а^x $%.

$% y^{(n)}=a^xln^na$%

(21 Мар '12 11:50) ASailyan

Не хотите, не принимайте, но я давольна моей работой.

(21 Мар '12 11:59) ASailyan

Почему же не принять? Работа, действительно, хорошая. Просто, читая чужие рассуждения, я кое-что уясняю для себя. В данном случае, мне было интересно, как Вы будете рассуждать по поводу дифференцируемости. Напрямую из Ваших выводов она не следует.

(21 Мар '12 17:13) Андрей Юрьевич
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
2

Насколько я помню, подобное уравнение в аддитивном варианте дает линейную функцию, но непрерывность надо требовать отдельно! Она не следует из функционального уравнения!

Эти две задачи сводятся друг к другу. Так как f(x)>0, можно рассматривать функцию g(x)=ln f(x). Для g выполняется свойство g(x + y) =ln f(x+y) = ln f(x) + ln f(y) = g(x) + g(y).

Имеем $%g(\frac{m}{n}x)=\frac{m}{n}g(x)$%. Значит, для всех аргументов, отношение которых является рациональным, g(x)=ax, но коэффициент a может быть своим для каждой группы "рационально связанных" чисел.

Это уравнение называется уравнение Коши. Построить конструктивно пример аддитивной разрывной функции невозможно, хотя они и существуют. Этому были посвящены серьезные исследования. При построении примера используется аксиома выбора, см. здесь. График полученной функции всюду плотно заполняет плоскость!

ссылка

отвечен 19 Мар '12 19:43

изменен 21 Мар '12 11:16

Но задача остается. Если эта функция может не быть экспонентой, тогда хотелось бы получить пример такой функции g(x)=?

(19 Мар '12 21:33) Андрей Юрьевич

Спасибо за информацию. Я об этом не знал. Нужно все это хорошо обдумать.

(20 Мар '12 0:29) Андрей Юрьевич

А нам это где-то рассказывали. Только не помню, где. В универе? Или на математическом кружке?

(20 Мар '12 0:31) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,746
×13
×4

задан
19 Мар '12 14:28

показан
2741 раз

обновлен
18 Май '12 1:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru