математический-анализ - Определение экспоненты.

$%f(0)=f(0+0)=f^2 (0) \Rightarrow$% $% f(0)=0 $% или $% f(0)=1 $%. При $% f(0)=0$% имеем ,что $% f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0 $% при каждой x. Это озночает что$% f(x)\equiv 0$%. Это противоречит условию задачи значит $% f(0)=1$%.

$% f(x)f(-x)=f(0)=1 \Rightarrow f(-x)=\frac{1}{f(x)}$% и $% f(x)\ne0 $%, при любой $% x\in R.$% По методу математической индукции легко доказать, что $% f(x_1+x_2+x_3+...+x_n)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)...f(x_n)$% и $% f(nx)=f^n(x)$% $% n\in N , x\in R$%

Обозначим $% f(1)=a$%.

$% a=f(1)=f(n.\frac{1}{n})=f^n(\frac{1}{n})$% при любой (в том числе и четной) $% n\in N \Rightarrow а>0 .$%

Теперь легко доказать, что

1. $% f(x)=a^x ,$% при $% x\in N $%

2. $% f(x)=a^x, $% при $% x\in Z $%

3. $% f(x)=a^x ,$% при $% x\in Q $%

Теперь докажем, что 4. $% f(x)=a^x ,$% при $% x\in R$%.

Пусть функция непрерывна в точке 0. Докажем что в любой иррационалной точке x тоже $% f(x)=a^x. $% Для x существует последователность рациональных чисел $% r_n \rightarrow x.$% Тогда $%(r_n-x) \rightarrow 0.$% И ввиду непреривности в точке 0, имеем $%limf(r_n-x)=f(0)=1.$%

Так-как $% f(r_n-x)=\frac{f(r_n)}{f(x)}, $% то имеем $%lim\frac{f(r_n)}{f(x)}=1\Leftrightarrow limf(r_n)=f(x). $%

И так $% f(x)=lima^{r_n}=a^x $% (согласно определению действительной степени). От 1)-4) следует, что $%f(x)=a^x $% при каждой $% x\in R$%. При а=1, функция будет постоянной. Значит $% а\ne1$% и $% а>0. $% Значит у нас показательная функция ( в частности экпоненциальная- $%y=e^x . $%) Отссюда следуют и все вышеперечисленные свойства.