$$log_{x+2}(x^2-2x+p)>=2$$ при всех значениях р.

У меня получилось $%p(-\infty;-8]$% {-2}-нет решений $%p(-2;+\infty)$% $%x(-1;\frac{p-4}{6}]$% а отрезок между $%(-8;-2)$% никак не могу найти..

задан 24 Янв '14 22:48

10|600 символов нужно символов осталось
3

Случай 1: $%x+2 > 1$%. Здесь $%x > -1$%, и неравенство имеет вид $%x^2-2x+p\ge x^2+4x+4$%, то есть $%x\le\frac{p-4}6$%. Такие решения имеются при $%p > -2$%, и получается промежуток $%x\in(-1;\frac{p-4}6]$%.

Случай 2: $%0 < x+2 < 1$%, то есть $%-2 < x < -1$%. Здесь неравенство принимает вид $%0 < x^2-2x+p\le x^2+4x+4$%. Из второго неравенства $%x\ge\frac{p-4}6$%. Отсюда следует, что $%p < -2$%. Первое неравенство можно записать как $%(1-x)^2 > 1-p$%. С учётом того, что $%2 < 1-x < 3$%, должно выполняться неравенство $%1-p < 9$%, то есть $%p > -8$% (в противном случае решений нет). При $%p\in(-8;-2)$% число $%\frac{p-4}6$% принадлежит интервалу $%(-2;-1)$%, и нам подходят $%x\in[\frac{p-4}6;-1)$%. При этом надо учесть ещё неравенство $%(1-x)^2 > 1-p$%, которое в наших условиях превращается в $%1-x > \sqrt{1-p}$%. Это значит, что $%x < 1-\sqrt{1-p}$%, и надо сравнить последнее из чисел с границами промежутка.

Равенство $%1-\sqrt{1-p}=\frac{p-4}6$% приводит к уравнению $%10-p=6\sqrt{1-p}$%, откуда $%100-20p+p^2=36-36p$%, то есть $%p^2+16p+64=0$%. Оно имеет место только при $%p=-8$%, а для всех остальных значений левая часть положительна, поэтому $%10-p > 6\sqrt{1-p}$%, откуда $%1-\sqrt{1-p} > \frac{p-4}6$%. Равенство $%1-\sqrt{1-p}=-1$% имеет место при $%p=-3$%. Соответственно, при $%p < -3$% будет иметь место неравенство $%1-\sqrt{1-p} < -1$%. Для этих значений $%p$% получится множество решений $%x\in[\frac{p-4}6;1-\sqrt{1-p})$%. При $%-3\le p$% получится $%x\in[\frac{p-4}6;-1)$%.

Таким образом, окончательно получаем такой ответ. Решений нет при $%p\in(-\infty;-8]\cup\{-2\}$%; при $%p\in(-2;+\infty)$% множество решений имеет вид $%x\in(-1;\frac{p-4}6]$%; при $%p\in(-8;-3)$% множество решений есть $%x\in[\frac{p-4}6;1-\sqrt{1-p})$%; при $%p\in[-3;-2)$% получается $%x\in[\frac{p-4}6;-1)$%.

ссылка

отвечен 25 Янв '14 0:28

@falcao, да , от -3 до -2 я ошибся: чертеж мелкий получился, немного слилось

(25 Янв '14 0:35) epimkin

@epimkin: вот в этом я вижу "фатальный" недостаток графического метода. Сам я его использую только в крайних случаях -- если он что-то реально упрощает. Геометрическая интерпретация, конечно, полезна, и её я широко привлекаю, но в качестве анализа подмножеств прямой. Двумерные рисунки очень часто бывают ненадёжными. Вспомните случаи ошибок с проведением касательных, имевших очень большой угловой коэффициент. Аналитика всё-таки более надёжна, на мой вкус.

(25 Янв '14 0:51) falcao

@falcao , я согласен. К сожалению, знаний не хватает для аналитики, я все же не математик по образованию. Даже скорей не знаний, а ума

(25 Янв '14 0:58) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
0

При -8<p<-2

(p-4)/6<=x<(1-sqrt(1-p))

ссылка

отвечен 25 Янв '14 0:20

изменен 25 Янв '14 0:21

@Amalia , остальное как у Вас

(25 Янв '14 0:23) epimkin

@epimkin: если я не ошибаюсь, то там надо ещё рассматривать "критическое" значение $%p=-3$%. Оно влияет на форму ответа. При $%p$% близких к $%-2$% правая граница получается больше $%-1$%.

(25 Янв '14 0:30) falcao

@falcao, я уже написал. К слову сказать графическое решение здесь проще получается: чертежи простые

(25 Янв '14 0:37) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×530

задан
24 Янв '14 22:48

показан
615 раз

обновлен
25 Янв '14 0:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru