в прямоугольнике ABCD с большей стороной AD точка E середина стороны AB, а M -основание перпендикуляра, опущенного из вершины D на отрезок CE. Докажите, что треугольник MAD - равнобедренный. Эта задача была на олимпиаде, решить не смог.....

задан 25 Янв '14 16:07

10|600 символов нужно символов осталось
0

Достаточно доказать равенство углов $%AMD$% и $%ADM$%. У четырёхугольника $%ADME$% два противоположных угла являются прямыми, поэтому вокруг него можно описать окружность. По свойству вписанных углов, $%AMD$% равен $%AED$%. Последний из углов равен $%BEC$%, что следует из равенства двух треугольников, которое в свою очередь вытекает их того, что $%E$% -- середина стороны $%AB$%. Угол $%BEC$% является смежным для угла $%AEC$%, и в сумме они составляют 180 градусов. Но угол $%ADM$% также составляет 180 градусов вместе с $%AEC$% по свойству вписанного четырёхугольника. Значит, $%BEC$% равен $%ADM$%, и в итоге оказывается, что $%AMD$% равен $%ADM$%.

ссылка

отвечен 25 Янв '14 16:31

Нифига себе спасибо я думал она нерешаемая:D

(25 Янв '14 16:43) Anton

Тут можно и по-другому было рассуждать. Треугольник $%CMD$% прямоугольный, поэтому середина $%F$% гипотенузы $%CD$% равноудалена от вершин. Прямые $%AF$% и $%CE$% симметричны относительно центра прямоугольника, а потому параллельны. Значит, $%AF$% перпендикулярна $%DM$%. Из того, что $%FM=FD$%, следует, что это серединный перпендикуляр (высота является медианой). На нём лежит точка $%A$%, поэтому она равноудалена от концов отрезка, и $%AM=AD$%.

(25 Янв '14 17:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024

задан
25 Янв '14 16:07

показан
1206 раз

обновлен
25 Янв '14 17:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru