Решить $$ \sqrt{sin3x}\cdot tg(2x-\pi/6)=0$$

alt text

задан 25 Янв '14 20:24

изменен 27 Янв '14 20:00

А что означает уравнение $%2x-\pi/6=\pi/6-2\pi n/3$%? Откуда оно взялось?

(26 Янв '14 22:01) falcao

Я этого не понимаю. Написано неверное равенство -- что бы оно ни значило. Если хотите, чтобы в Вашем решении нашли ошибку (а она там точно есть, так как ответ неверный), то напишите более точно, что Вы делали.

(26 Янв '14 23:32) falcao

вот решение

(27 Янв '14 12:17) Amalia

@Amalia: теперь стало понятно, где ошибка. Она в классификации целых чисел. Когда речь идёт о чётных и нечётных, то там две формы: 2k и 2k+1. Но когда речь о делении на 3, то возможных остатков три, и форм тоже три: это 3k, 3k+1 и 3k+2. Последний из случаев Вы не рассмотрели, в результате чего часть решений пропала.

Во втором случае, при делении на 4, остатков тоже четыре, и помимо двух рассмотренных Вами форм есть ещё 4k+2 и 4k+3. Из них одна не подойдёт, а другая даст дополнительную серию решений.

(27 Янв '14 21:11) falcao

Спасибо я все поняла

(27 Янв '14 22:39) Amalia
10|600 символов нужно символов осталось
1

Задачу можно решать на промежутке длиной в период, равный $%2\pi$%. Пусть обратился в ноль первый сомножитель. Тогда $%x=\pi k/3$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%. Чтобы $%x$% было решением, нужно, чтобы косинус числа $%2x-\pi/6=2\pi k/3-\pi/6$% не обратился в ноль. Достаточно проверить три значения $%k$%, идущих подряд -- например, $%k=0,1,2$%, так как далее за счёт множителя 2 перед $%\pi$% значения аргумента будут отличаться на период. Углы при этом получаются равными $%-\pi/6$%, $%\pi/2$% и $%7\pi/6$%. Второй из них нам не подходит, а два других подходят. Ввиду того, что $%x=\pi k/3$% мы рассматриваем на отрезке длиной $%2\pi$%, брать надо шесть значений, и из них мы "забраковываем" $%k=1$% и $%k=4$%, а остальные нам подходят. Это $%x\in\{0;2\pi/3;\pi;5\pi/3\}$%. Получается 4 серии решений с периодом $%2\pi$% каждая.

Теперь рассмотрим случай, когда второй сомножитель обратился в ноль. Это даёт $%x=\pi/12+\pi m/2$%, где $%m\in{\mathbb Z}$%. Здесь нужно проверить выполнение условия $%\sin3x\ge0$%. При этом $%3x=\pi/4+3\pi m/2$%, и здесь достаточно проверки четырёх значений $%m$%, так как далее всё периодически повторяется. Угол $%3x$% при этом принимает значения $%\pi/4$%, $%3\pi/4+\pi$%, $%\pi/4+3\pi$%, $%19\pi/4=3\pi/4+4\pi$%. Ясно, что $%m=0$% и $%m=3$% подходят, а $%m=1$% и $%m=2$% нет. Для $%x=\pi/12+\pi m/2$% на отрезке длиной в период четырёх значений достаточно, и получается ещё две серии с периодом $%2\pi$% для $%x\in\{\pi/12;19\pi/12\}$%. Вместо последнего значения можно взять $%-5\pi/12$%. Итого получилось шесть серий с периодом $%2\pi$% каждая.

ссылка

отвечен 25 Янв '14 21:39

Это вопрос уже не о решении, а о способе оформления. Если непременно нужно, чтобы решение оформлялось в таком стиле, то нужна не одна система, а совокупность двух систем. То есть под одной квадратной скобкой окажутся две фигурных. В первой системе будет равенство $%\sin3x=0$% и условие $%\cos(2x-\pi/6)\ne0$%. В второй из систем будет равенство $%\sin(2x-\pi/6)=0$% и неравенство $%\sin3x\ge0$%. Но я по такому в точности принципу и решаю -- просто описываю всё словами вместо формул.

(25 Янв '14 23:45) falcao

я когда решала у меня получилось два ответа $% x=\pi n; x=-\pi /12+2 \pi k $%

(26 Янв '14 18:55) Amalia

@Amalia: значения вида $%\pi n$% совпали, а остальное нет. Прежде всего, проверим Ваше значение $%x=-\pi/12$%. Для него $%\sin3x=\sin(-\pi/4)$%, а это отрицательное число. В то же время, $%x=\pi/12$% явно подходит: там синус положителен, а под тангенсом оказывается ноль.

(26 Янв '14 19:12) falcao

Значит $%x=\pi /12+2 \pi k$% Всего два ответа?

(26 Янв '14 19:19) Amalia

@Amalia: у меня получилось по-другому. Ответы я указал. Вот, скажем, $%x=2\pi/3$% чем не решение? Синус $%3x$% равен нулю, тангенс угла $%7\pi/6$% определён. И это ещё далеко не всё.

(26 Янв '14 19:36) falcao

Я не очень поняла как вы ответ даете, я через совокупность делала, и у меня только два ответа получилось

(26 Янв '14 21:35) Amalia

@Amalia: у меня в тексте решения две части. В первой я нахожу те $%x$%, для которых первый сомножитель (синус) равен нулю, и при этом второй (тангенс) определён. Там получается 4 серии решений с периодом $%2\pi$%. Две из них можно объединить в виде $%\pi n$%. Во второй части я рассматриваю случай, когда тангенс равен нулю, и при этом синус числа 3x неотрицателен. И там получается 2 серии. Все 6 серий образуют ответ, так как два случая -- это и есть "совокупность", а внутри каждого случая рассматривается, фактически, система.

Если Вы покажете, как именно Вы решали, я готов указать на ошибку.

(26 Янв '14 21:42) falcao

выше показала

(26 Янв '14 21:54) Amalia
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×915
×909
×58

задан
25 Янв '14 20:24

показан
952 раза

обновлен
27 Янв '14 22:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru