Тригонометрия

$$\sqrt{sin3x}\cdot log_2(tgx-3/2)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}\begin{cases} \sqrt{sin3x}=0\\ tgx>3/2 \end{cases} \\ \begin{cases}log_2(tgx-3/2)=0\\ sin3x\ge 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}\begin{cases} sin3x=0\\ tgx>3/2 \end{cases} \\ \begin{cases}tgx-3/2=1\\ sin3x\ge 0 \end{cases} \end{aligned}\right.\Leftrightarrow $$

$$ \Leftrightarrow\left[ \begin{aligned}\begin{cases} x=\frac{\pi k}3\ \ (k\in Z)\\ tgx>3/2 \end{cases} \\ \begin{cases}x=arctg5/2+\pi k \ \ (k\in Z) \\ sin3x\ge 0 \end{cases} \end{aligned}\right.$$ Решения первой системы $%x=\frac{\pi}3(3n+1)=\frac{\pi}3+\pi n \ \ (n\in Z).$% При $%k=3n, tgx=0<\frac{3}2,$% при $%k=3n-1, tgx=-\sqrt{3}<\frac{3}2, $% а при $%k=3n+1, tgx=\sqrt{3}>\frac{3}2. $%

Для второй системы $%tgx=5/2 \Rightarrow sinx=\pm \frac{5}{\sqrt{29}}.$% При $%sinx= \frac{5}{\sqrt{29}}, sin3x=3sinx-4sin^3x<0, $% а при $%sinx= -\frac{5}{\sqrt{29}}, sin3x=3sinx-4sin^3x>0.$% Значит $%x=arctg5/2+\pi (2k+1)\ k\in Z.$%

И так решение уравнения $%x=\frac{\pi}3+\pi n ,x=arctg5/2+\pi (2n+1)\ \ (n\in Z).$%