|
Точки M,N,P,K -соответственно середины Точки M,N,P,K -соответственно середины сторон BC,CD,DA и AB выпуклого четырехугольника ABCD. Отрезки AM и KC персекаются в точке Е, а отрезки AN и CP- в точке F.Найдите площадь четырехугольника ECFA, если площадь треугольника ABCD равна 48.(Ответ округлите до целого числа) задан 26 Янв '14 9:41 
Kiwi |
|
Рассмотрим диагональ AC. Она делит четырёхугольник на два треугольника, в которых проведены медианы AM и AN. Поскольку медиана делит треугольник на две части равной площади, из этого можно сделать вывод, что площадь AMCN равна половине площади ABCD, то есть равна 24. Теперь сравним площади ACM и ACE. Достаточно знать отношение, в котором точка E делит отрезок AM. Оно легко вычисляется: проведём через M прямую, параллельную CK. Пусть она пересекает AB в точке Q. Ясно, что Q будет серединой BK. Тогда BQ=QK=x, KA=BK=2x, то есть QK:KA=1:2. Из соображений теоремы Фалеса, отсюда следует ME:EA=1:2. Тогда EA составляет 2/3 от AM, и площадь ACE также составляет 2/3 от площади ACM. Аналогичное заключение можно сделать про треугольники ACF и ACN: площадь первого из них равна 2/3 от площади второго. Сложение площадей показывает, что площадь AECF равна 2/3 от площади AMCN, а последнюю мы знаем. Отсюда сразу получается ответ. отвечен 26 Янв '14 14:34 
falcao |
Треугольника или четырезугольника?
Нужно найти площадь четырехугольника ECFA, там опечатка площадь ABCD=48