Точки M,N,P,K -соответственно середины Точки M,N,P,K -соответственно середины сторон BC,CD,DA и AB выпуклого четырехугольника ABCD. Отрезки AM и KC персекаются в точке Е, а отрезки AN и CP- в точке F.Найдите площадь четырехугольника ECFA, если площадь треугольника ABCD равна 48.(Ответ округлите до целого числа)

задан 26 Янв '14 9:41

Треугольника или четырезугольника?

(26 Янв '14 10:13) Верик

Нужно найти площадь четырехугольника ECFA, там опечатка площадь ABCD=48

(26 Янв '14 10:26) Kiwi
10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим диагональ AC. Она делит четырёхугольник на два треугольника, в которых проведены медианы AM и AN. Поскольку медиана делит треугольник на две части равной площади, из этого можно сделать вывод, что площадь AMCN равна половине площади ABCD, то есть равна 24.

Теперь сравним площади ACM и ACE. Достаточно знать отношение, в котором точка E делит отрезок AM. Оно легко вычисляется: проведём через M прямую, параллельную CK. Пусть она пересекает AB в точке Q. Ясно, что Q будет серединой BK. Тогда BQ=QK=x, KA=BK=2x, то есть QK:KA=1:2. Из соображений теоремы Фалеса, отсюда следует ME:EA=1:2. Тогда EA составляет 2/3 от AM, и площадь ACE также составляет 2/3 от площади ACM.

Аналогичное заключение можно сделать про треугольники ACF и ACN: площадь первого из них равна 2/3 от площади второго. Сложение площадей показывает, что площадь AECF равна 2/3 от площади AMCN, а последнюю мы знаем. Отсюда сразу получается ответ.

ссылка

отвечен 26 Янв '14 14:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,989

задан
26 Янв '14 9:41

показан
1393 раза

обновлен
26 Янв '14 14:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru