$% \lim\limits_{n \to \infty} \underbrace {\sqrt{3+\sqrt{3 + ... +\sqrt{3}}}}_{n\text{ слагаемых}} = ?$%

задан 26 Янв '14 16:23

10|600 символов нужно символов осталось
1

Последовательность монотонно возрастает, что видно из сравнения членов. Далее, она ограничена сверху, например, числом 3. Действительно, если $%n$%-й член меньше 3, то $%(n+1)$%-й член меньше $%\sqrt{3+3} < 3$%. Для первого члена последовательности неравенство верно очевидным образом.

Как известно из курса математического анализа, монотонно возрастающая ограниченная сверху числовая последовательность имеет предел. Обозначим его через $%a$%. Это положительное число. Из определения последовательности видно, что $%a_{n+1}=\sqrt{3+a_n}$% сходится к $%\sqrt{3+a}$%, откуда $%a=\sqrt{3+a}$% ввиду единственности предела. Получается квадратное уравнение, имеющее единственный положительный корень $%a=\frac{1+\sqrt{13}}2$%.

ссылка

отвечен 26 Янв '14 16:43

10|600 символов нужно символов осталось
-1

Предел последовательности равен 2.3028

ссылка

отвечен 26 Янв '14 16:33

Интересует решение.

(26 Янв '14 16:41) savva-paladin

@wusan, $%\frac{1+\sqrt{13}}{2}<2.3028 $%

(23 Мар '16 11:21) bot

Ответ правильный, просто был округлен.

(24 Авг '18 11:44) wusan
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,794
×769
×125

задан
26 Янв '14 16:23

показан
1090 раз

обновлен
24 Авг '18 11:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru