На боковом ребре SB правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF выбрана точка P так, что SP в 10 раз больше, чем PB. Пирамиду рассекли на две части плоскостью, проходящей через точку P параллельно ребрам SE и FE.

Найдите отношение объема большей из этих частей к объему меньшей части.

задан 26 Янв '14 18:07

10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

Вспомним, что отношение обьемов пирамид имеющих равные высоти равно отношению площадей их оснований, а отношение площадей двух треугольников имеющие равные высоты, равно отношению их оснований.
Оказался, что здесь удобно следовать совету @falcao: точку $%C$% соединим c $%P$% и $%L,$% а точку $%M$% с $%L.$% Пусть сторона основании данной пирамиды равен $%a,$% а высота равна $%h.$% Обьем данной пирамиды $%V=\frac13\cdot \frac{3\sqrt3a^2}2h.$%

По теореме Фалеса и подобия треугольников имеем : $%BK/BF=BP/BS=1/11 \Rightarrow LB=LG=\frac2{11}a, LQ=LG+GQ=a+\frac2{11}a=\frac{13}{11}a,$% а расстояние $%PM $% от основании равен $%1/11h.$%

$%PM=10/11BC=\frac{10}{11}a. \ \ V_{PLBC}=\frac13\cdot \frac1{11}h \cdot \frac12 BL\cdot BC sin120^0=\frac1{3\cdot 11^2}V. $% $%\frac{V_{MLCQ}}{V_{PLBC}}=\frac{S_{LBC}}{S_{QLC}}=\frac{LQ}{BC}=\frac{13}{11}\Rightarrow V_{MLCQ}=\frac{13}{11}V_{PLBC}=\frac{13}{3\cdot 11^3}V.$%

$%\frac{V_{CMPL}}{V_{CQML}}=\frac{S_{PML}}{S_{QML}}=\frac{PM}{LQ}=\frac{10}{13}\Rightarrow V_{CMPL}=\frac{10}{13}V_{CQML}=\frac{10}{3\cdot 11^3}V.$%

$%V_1=V_{PLBC}+V_{MLCQ}+V_{CMPL}=\frac1{3\cdot 11^2}V+\frac{13}{3\cdot 11^3}V+\frac{10}{3\cdot 11^3}V=\frac{34}{3\cdot 11^3}V$% $%V_2=V-V_1=\frac{3\cdot 11^3-34}{3\cdot 11^3V} \Rightarrow \frac{V_1}{V_2}=\frac{34}{3\cdot 11^3-34}=\frac{34}{3959}.$%

ссылка

отвечен 26 Янв '14 20:17

изменен 27 Янв '14 17:32

@ASailyan, объем малой части считается как сумма объемов? (3 пирамидки+ призма)

(26 Янв '14 20:41) Uchenitsa
1

@Uchenitsa: можно точку $%С$% соединить c $%P$% и $%L$%, а потом подсчитать объём треугольной пирамиды $%CBPL$% и четырёхугольной пирамиды с вершиной $%C$% и равнобочной трапеции в основании.

(26 Янв '14 20:48) falcao
1

Многогранник $%PKBMIC$% не призма. Но если проводить $%PT||MC,TQ||KB$% получится призма $%PTQMIC,$% и две пирамиды .

(26 Янв '14 20:58) ASailyan

@ASailyan, подскажите, пожалуйста, ответ. Я обозначила сторону основания за а и боковое ребро за в, в окончательном виде у меня получается несократимая дробь с длинами сторон. Может получится сократить, зная ответ

(26 Янв '14 22:11) Uchenitsa

@Uchenitsa, я не решила задачу, просто построила сечение.

(26 Янв '14 22:33) ASailyan

@ASailyan, спасибо за сечение.

(26 Янв '14 22:42) Uchenitsa

@falcao, если решили, напишите, пожалуйста, ответ

(27 Янв '14 9:01) Uchenitsa

@Uchenitsa: я смотрел эту задачу "бегло", анализируя только возможный ход решения. Остальная часть там чисто вычислительная, и я эту работу не проделывал. Мне показалось, что какого-то "элегантного" способа здесь нет, и всё надо считать "по-честному".

На форуме вчера было много задач, и я ими в основном занимался, но если, как говорится, руки дойдут, то я могу попробовать посчитать. Но твёрдо ничего не обещаю.

(27 Янв '14 12:42) falcao
(27 Янв '14 17:07) Arleigh_Burke

Спасибо, @Arleigh_Burke, уже исправила.

(27 Янв '14 17:31) ASailyan
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
2

если $$PB = (1/k)SB, $$ то отношение объема TOBLERONE-чика к объему всей пирамиды, кажется, такое (если не наврал в вычислениях) $$v/V = 1/k^2 + 1/(3k^3)$$ просто тупо послойно интегрировал - не стал хитро нарезать-приставлять-манипулировать,
хотя после получения ответа можно было бы постараться его осознать...

ссылка

отвечен 27 Янв '14 15:28

изменен 27 Янв '14 20:18

Это интересное соображение. Хотя интегрирование не всегда желательно в таких случаях, полученная форма общего ответа говорит о том, что здесь применимы какие-то идеи помимо чисто вычислительных. Легко также заметить, что ответ @ASailyan соответствует тому, что даёт Ваша формула при $%k=11$%.

(27 Янв '14 15:47) falcao

@falcao Во-первых не соответствует, во-вторых там в решении ASailyan ошибка, я уже указал какая.

(27 Янв '14 16:42) Arleigh_Burke

@Arleigh_Burke: судя по всему, Вы правы. Я не проверял детально, а просто сложил числитель и знаменатель из указанного ответа, и там "мелькнуло" число $%11^3$% (умноженное на 3). Мне подумалось, что такое совпадение случайным быть не может. Но если вычислительная ошибка была какой-то мелкой, то что-то могло совпасть не до конца.

(27 Янв '14 18:54) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×490
×106
×84

задан
26 Янв '14 18:07

показан
2375 раз

обновлен
27 Янв '14 20:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru