|
С чего начать решение этого лимита? Пробовал замену переменной, но ничего путного не вышло. (Без использования правила Лопиталя) $$ \lim_{x->\pi}\frac{\cos(\frac{x}{2})}{e^{\sin(x)}-e^{\sin(4x)}} $$ задан 26 Янв '14 20:04 
kiecstor
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
Просто использовать разложение в ряд Тейлора, и ограничится членами первого порядка. Получается 1/10. $$lim\frac{-sin(\pi/2)x/2}{xcos\pi-4xcos4\pi}=0.1$$ отвечен 26 Янв '14 20:25 
wusan До ряда Тейлора, боюсь, мне ещё далековато.
(26 Янв '14 20:45)
kiecstor
Но ведь и sint∼t и e^t∼1+t не что иное, как разложение в ряд Тейлора до первых членов включительно.
(26 Янв '14 20:48)
wusan
@wusan, как говорится, мы это ещё не проходили. :) Про эквивалентности ответил чуть выше.
(26 Янв '14 20:50)
kiecstor
Если не проходили, то решить эту задачу не получится. В случае равных значений самих функций сравнивают скорость стремления к пределу их производных. Для этого или правило Лопиталя используют или разложение в ряд.
(26 Янв '14 20:56)
wusan
|
Замену сделать полезно, а далее нужно в той или иной форме использовать то, что $%\sin t\sim t$% и $%e^t\sim1+t$% при $%t$% близких к нулю. Один из фактов -- это первый замечательный предел, и с ним всё ясно. Второе выводится из того, что производная функции $%e^t$% в нуле равна 1. То есть можно искусственно преобразовать всё так, чтобы появились выражения вида $%(e^t-1)/t$%, у которых далее рассматривается предел. Тут получиться должна 1/10, насколько я понимаю.
Проблема ещё в том, что в знаменателе разность, а при сумме/разности заменять на эквиваленты не разрешено (у нас, по крайней мере). Вот мне и не понятно, как избавиться от разности можно.
Это можно сделать за счёт искусственного преобразования. Разность экспонент заменяется на $%(e^u-1)-(e^v-1)$%. Потом числитель и знаменатель делим на $%x$%. Предел числителя -- константа (1/2), а в знаменателе будет разность двух констант (1 и -4).
Этот способ тоже использует тейлоровское разложение.
@falcao, спасибо, получилось. (про "преобразование" лимита в несколько как-то забыл).
@wusan, возможно, не спорю, просто этого пока не знаю.
@wusan: с точки зрения математики это так (то есть производная соответствует разложению по формуле Тейлора до первого члена), но тут есть ещё моменты учебно-методического характера -- на что разрешено ссылаться на каких-то этапах изучения, а на что нет.