С чего начать решение этого лимита? Пробовал замену переменной, но ничего путного не вышло. (Без использования правила Лопиталя)

$$ \lim_{x->\pi}\frac{\cos(\frac{x}{2})}{e^{\sin(x)}-e^{\sin(4x)}} $$

задан 26 Янв '14 20:04

1

Замену сделать полезно, а далее нужно в той или иной форме использовать то, что $%\sin t\sim t$% и $%e^t\sim1+t$% при $%t$% близких к нулю. Один из фактов -- это первый замечательный предел, и с ним всё ясно. Второе выводится из того, что производная функции $%e^t$% в нуле равна 1. То есть можно искусственно преобразовать всё так, чтобы появились выражения вида $%(e^t-1)/t$%, у которых далее рассматривается предел. Тут получиться должна 1/10, насколько я понимаю.

(26 Янв '14 20:21) falcao

Проблема ещё в том, что в знаменателе разность, а при сумме/разности заменять на эквиваленты не разрешено (у нас, по крайней мере). Вот мне и не понятно, как избавиться от разности можно.

(26 Янв '14 20:47) kiecstor

Это можно сделать за счёт искусственного преобразования. Разность экспонент заменяется на $%(e^u-1)-(e^v-1)$%. Потом числитель и знаменатель делим на $%x$%. Предел числителя -- константа (1/2), а в знаменателе будет разность двух констант (1 и -4).

(26 Янв '14 21:19) falcao

Этот способ тоже использует тейлоровское разложение.

(26 Янв '14 21:58) wusan

@falcao, спасибо, получилось. (про "преобразование" лимита в несколько как-то забыл).

@wusan, возможно, не спорю, просто этого пока не знаю.

(26 Янв '14 22:34) kiecstor

@wusan: с точки зрения математики это так (то есть производная соответствует разложению по формуле Тейлора до первого члена), но тут есть ещё моменты учебно-методического характера -- на что разрешено ссылаться на каких-то этапах изучения, а на что нет.

(26 Янв '14 22:38) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
0

Просто использовать разложение в ряд Тейлора, и ограничится членами первого порядка. Получается 1/10. $$lim\frac{-sin(\pi/2)x/2}{xcos\pi-4xcos4\pi}=0.1$$

ссылка

отвечен 26 Янв '14 20:25

изменен 26 Янв '14 20:53

До ряда Тейлора, боюсь, мне ещё далековато.

(26 Янв '14 20:45) kiecstor

Но ведь и sint∼t и e^t∼1+t не что иное, как разложение в ряд Тейлора до первых членов включительно.

(26 Янв '14 20:48) wusan

@wusan, как говорится, мы это ещё не проходили. :) Про эквивалентности ответил чуть выше.

(26 Янв '14 20:50) kiecstor

Если не проходили, то решить эту задачу не получится. В случае равных значений самих функций сравнивают скорость стремления к пределу их производных. Для этого или правило Лопиталя используют или разложение в ряд.

(26 Янв '14 20:56) wusan
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,879
×748

задан
26 Янв '14 20:04

показан
2336 раз

обновлен
26 Янв '14 22:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru