помогите пожалуйста доказать теоремы. задание такое. 1)доказать если a и b взаимно просты то x^(a-1) и x^(b-1) имеют единственный общий корень

2) обозначив через fi(n) число первообразных корней n-ой степени из 1 доказать что fi(ab) =fi(a)*fi(b) если а и b взаимно просты.

Прошу разпишите подробно пожалуйста. в вышке мало вообще понимаю. Спасибо вам заранее и дай Бог здоровья!

задан 27 Янв '14 1:17

изменен 27 Янв '14 1:38

@mishammm: проверьте, пожалуйста, пункт 1 условия. Я думаю, там должно быть $%x^a-1$% и $%x^b-1$%. Скобки в данном случае лишние, потому что 1 вычитается не из показателя.

Ещё было бы полезно уточнить, какого рода факты о взаимно простых числах Вам известны. От этого может зависеть способ объяснения.

(27 Янв '14 1:54) falcao

да да вы правы там x^a - 1 как вы и написали. разпишите как вы знаете пожалуйста, эту тему читал немного понял, а особенно доказывать теоремы это не моё ( . прошу разпишите плиз как доказать их

(27 Янв '14 2:02) mishammm

@mishammm, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.

(27 Янв '14 16:44) Deleted
10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Пусть $%a$%, $%b$% -- взаимно простые натуральные числа. Требуется доказать, что многочлены $%x^a-1$% и $%x^b-1$% имеют единственный общий комплексный корень (это $%x=1$%). Рассуждаем так. Предположим, что $%z^a=1$% и $%z^b=1$%, где $%z\in{\mathbb C}$%. Можно воспользоваться таким известным фактом из теории чисел, что для взаимно простых $%a$%, $%b$% найдутся такие целые $%u$% и $%v$%, что $%au+bv=1$%. Пример: пусть $%a=5$%, $%b=7$%. Тогда $%1=15-14$%, и можно взять $%u=3$%, $%v=-2$%. Или так: $%1=21-20$%, и подходят $%u=-5$%, $%v=3$%.

Из этого утверждения сразу всё следует, потому что $%z\ne0$%, и его можно возводить в степени с отрицательным целым показателем. Получается $%z=z^1=z^{au+bv}=(z^a)^u(z^b)^v=1$%, что и требовалось доказать.

Можно не привлекать этот способ, а основываться на алгоритме Евклида нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел. Он (в своём "замедленном" варианте) основан на том, что из большего числа надо вычитать меньшее, заменяя большее число на разность. Тогда, если у нас была пара, скажем, (35;24), то применение алгоритма ведёт к парам (11;24), (11;13), (11;2), (9;2), ..., (1;2), (1;1), (1;0). В процессе алгоритма НОД не изменяется, и если числа были взаимно просты, то их НОД был равен 1, и в конце одно из чисел станет равно 1. Поэтому, если у нас были равенства $%z^{35}=1$% и $%z^{24}=1$%, то из них следует, что $%z^{11}=1$%, потом $%z^{13}=1$% и далее по списку, пока не придём к $%z=1$%.

Если бы оба показателя степени делились на что-то кроме 1 -- скажем, на 3, то в этом процессе все числа делились бы на 3, и мы бы не получили 1. Это к вопросу о том, почему взаимная простота тут важна.

2) Это свойство мультипликативности функции Эйлера. Через $%\varphi(n)$% обозначается количество чисел списка 1, 2, ..., n, взаимно простых с $%n$%. Например, $%\varphi(10)=4$%, так как в списке 1, 2, .., 10 есть ровно четыре числа (1,3,7,9), которые взаимно просты с 10.

Ваше определение эквивалентно тому, что написано выше: первообразных корней $%n$%-й степени из 1 ровно столько же.

Факт этот излагается во всех учебниках по теории чисел. Доказательство довольно длинное, и оно обычно бывает основано на предыдущих фактах. Можно придумать какие-то "обходные" пути (скажем, с привлечением теории групп или даже теории вероятностей), но это выйдет ещё сложнее. Поэтому здесь надо просто прочитать параграф учебника. Смотреть надо тему "функция Эйлера" и свойство её мультипликативности.

Можно также заглянуть в статью из Википедии на эту тему.

ссылка

отвечен 27 Янв '14 2:35

дай Бог вам Здоровья и счастья спасибо

(27 Янв '14 2:47) mishammm

falcao спасибо за подсказку куда копать действительно нашел то что вы порекомендовали http://www.unn.ru/math/no/6/_nom6_011_evnin.pdf, есть такое )) всё класно расписано скажите где можно еще почитать (скатать) :) про такое: доказать что если a1,a2....an перестановка с числом инверсий l то после приведение ее в исходное расположение номера 1, 2....n образуют перестановку с тем же числом инверсий l . куда тут копать??

(27 Янв '14 3:09) mishammm

@mishammm: про перестановки и инверсии написано очень много где -- это есть в учебниках по алгебре, в том числе линейной (в теме "определители"). Найти этот материал достаточно просто. Я бы мог это рассказать в двух словах, но не знаю, какое утверждение Вас интересует (там есть много всего похожего). То, что Вы написали в конце, сформулировано "сумбурно", и мне трудно угадать, что имелось в виду. Но все факты на этот счёт стандартны, и в книгах они есть в изобилии. Уверен, что и в Сети тоже. Ключевые слова: перестановки, подстановки, инверсии.

(27 Янв '14 3:27) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,995
×1,464
×507

задан
27 Янв '14 1:17

показан
845 раз

обновлен
27 Янв '14 16:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru