При возведении двузначного числа в степень 2014 последняя цифра оказалась равной 1, а предпоследняя равна 4. Найдите все такие двузначные цифры. У меня получились числа: 11; 39; 61; 89. Но я решал перебирая все двузначные числа, которые оканчиваются на 1 и 9. Нет ли более рационального способа решения? Заранее благодарен.

задан 27 Янв '14 13:06

Перебор можно было бы сократить в 2 раза, то есть свести до 10 чисел, если учесть четность степени 2014. То есть необходимо найти числа, которые в 2014 степени дают остаток 41 при делении на 100. Так вместо 100 сравнений от -49 до 50 достаточно ограничится только сравнениями от 1 до 50. Другой оптимизации пока не вижу.

(27 Янв '14 14:09) aid78
10|600 символов нужно символов осталось
0

В принципе, стратегия примерно такой и должна быть. За счёт того, что 2014 не кратно 4, получается последняя цифра 1 или 9. Некоторое упрощение может быть достигнуто за счёт трактовки 9 как -1, то есть мы наше число записываем в виде $%10k\pm1$%. При возведении в степень отбрасываются слагаемые, кратные 100, и остаётся $%1\pm2014\cdot10k$%. Предпоследняя цифра задаётся числом $%\pm4k$%. При знаке "плюс" получается $%k=1$% или $%k=6$%, что даёт 11 и 61. При знаке "минус" получаются значения $%k=4$% и $%k=9$%. Поскольку единицу из числа мы вычитаем, то они превратятся в 3 и 8, что даст 39 и 89. То есть Ваш ответ правильный.

ссылка

отвечен 27 Янв '14 14:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,938

задан
27 Янв '14 13:06

показан
1876 раз

обновлен
27 Янв '14 14:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru