Квадратная таблица состоит из 2014 строк и 2014 столбцов. В каждой клетке, находящейся на пересечении строки с номером I и столбца с номером j, записано число a(I;j) = log(2)(1 – cos(((pi/3)*(I – j)) + pi/2)). Найти сумму всех чисел в таблице.

задан 27 Янв '14 19:46

10|600 символов нужно символов осталось
1

С учётом тождества $%\cos(\alpha+\pi/2)=-\sin\alpha$%, мы складываем числа вида $$a_{ij}=\log_2\left(1+\sin\left(\frac{\pi}3(i-j)\right)\right)$$ по всем $%1\le i,j\le n$%, где $%n=2014$%. Синусы углов, соответствующие первой строке, то есть случаю $%i=1$%, имеют вид $%0$%, $%\sin(-\pi/3)=-\sqrt3/2$%, $%\sin(-2\pi/3)=-\sqrt3/2$%, $%0$%, $%\sin(-4\pi/3)=\sqrt3/2$%, $%\sin(-5\pi/3)=\sqrt3/2$%, и далее всё периодически повторяется. Если к этим числам прибавить 1 и всё перемножить, то получится $%1/4^2$%. В остальных строках наблюдается та же закономерность, со сдвигом чисел. При $%n=6k+4$% в квадрате $%n\times n$% можно выделяется отдельный квадрат $%4\times4$% (сверху слева), а всё остальное разбить на $%(n^2-16)/6$% шестёрок, идущих подряд в строке или столбце. Для квадрата $%4\times4$%, в котором из 16 значений синуса (до прибавления единицы) шесть равны нулю, а значений $%\sqrt3/2$% и $%-\sqrt3/2$% поровну, мы получим произведение $%(1+\sqrt3/2)(1-\sqrt3/2)$% в пятой степени, то есть $%1/4^5$%.

Таким образом, если сумму логарифмов представить как логарифм произведения, то получится $%\log_24^{-m}$%, где $%m=5+2\cdot(n^2-16)/6=(n^2-1)/3$%. Логарифм будет равен $%-2m$%, что для случая $%n=2014$% составляет $%-2704130$%.

ссылка

отвечен 27 Янв '14 23:52

10|600 символов нужно символов осталось
0

Сначала вырази cos(((pi/3)(I – j)) + pi/2) как -sin((pi/3)(I – j))). Далее распиши первые несколько членов суммы для первой строки. Увидишь, что каждый третий член является единицей, а остальные члены будут или (1+sqrt(3)/2), или (1-sqrt(3)/2), что дает формулу разности квадратов, то есть каждые два члена превратятся в (1-3/4)=1/4, то есть сумма в каждой строке будет log(2)(1/4^(какая-то степень)), остается найти только эту степень.

ссылка

отвечен 27 Янв '14 21:12

@Rocknrolla: Спасибо за совет, но самое сложное это как раз определить степень, в которую надо возвести 1/4. И я как раз не могу сообразить, как это сделать. Но сейчас попробую. В каждой строке каждое третье число является 1, т.к. разница индексов кратна 3, и у нас получается sin(pik)=0. Таких чисел в каждой строке будет 672 штуки. Во всех строках их будет 2014672. Значит останется клеток 2014х2014 - 2014х672=2014х1342. Делим это число на 2, т.к. каждые два числа превращаются в 1/4. Получим (1/4)^(1007х1342). А так как у нас логарифм, ответ:: -2014х1342. Правильно, или я где-то ошибся.

(27 Янв '14 21:24) serg55

Навскидку могу посоветовать посмотреть числа на диагоналях или посмотреть случаи четных и нечетных строк, посмотри может получится.

(27 Янв '14 21:29) Rocknrolla

Рассуждения правильные, только вот мне кажется не во всех строках будет одинаковое число единиц. Но все равно это вроде бы должно скомпенсироваться, так что ответ должен быть правильным.

(27 Янв '14 22:10) Rocknrolla
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,001

задан
27 Янв '14 19:46

показан
1620 раз

обновлен
27 Янв '14 23:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru