Пусть система целочисленных векторов линейно независима над $%{\mathbb Q}.$% Доказать, что найдётся лишь конечное число простых чисел $%p$% таких, что эта система линейно зависима по модулю $%p.$%

задан 28 Янв '14 20:02

изменен 28 Янв '14 20:46

Deleted's gravatar image


126

Я пытался решить, но не получается, а в задачнике ответа нет...

(28 Янв '14 20:03) trongsund
10|600 символов нужно символов осталось
1

Запишем координаты векторов в матрицу. Поскольку система линейно независима, её ранг (как матрицы над полем $%{\mathbb Q}$%) равен числу строк. Тогда система столбцов имеет тот же ранг, и среди них можно выделить столько же линейно независимых, сколько имеется строк. Это даёт квадратную матрицу с линейно независимыми столбцами и строками. Её определитель есть целое число, отличное от нуля. Оно имеет конечное число простых делителей. Для всех остальных простых чисел $%p$% этот определитель будет отличен от нуля по модулю $%p$%, и поэтому система "урезанных" строк (то есть без учёта некоторых координат) будет линейно независима как система векторов над полем $%{\mathbb Z}_p$%. Из этого следует, что и исходная система обладает тем же свойством.

При желании, можно было рассмотреть вещественное евклидово пространство и рассмотреть матрицу Грама данной системы, с использованием той же идеи.

ссылка

отвечен 28 Янв '14 20:31

Ясно. Просто в задачнике эта задача стояла до параграфа "определитель" (они начинаются в 9 параграфе, а это задача из 6-го). Поэтому я пытался решить без этого понятия. Но всё равно я понял :), спасибо!

(28 Янв '14 23:57) trongsund

Можно решить и без определителей, опираясь на способ решения однородных систем методом Гаусса. При этом надо ограничиваться только целочисленными преобразованиями. Матрица приводится к ступенчатому виду, и нулевых строк при этом не возникает (если решается система с неопределёнными коэффициентами в поисках линейной зависимости). Тогда нулевых строк не будет ни при каком простом p, большем максимума модуля коэффициентов матрицы.

(29 Янв '14 0:06) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,413

задан
28 Янв '14 20:02

показан
705 раз

обновлен
29 Янв '14 0:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru