$$U1 = \frac{1}{ 3^{1} +1 } = \frac{1}{4}$$ $$U2 = \frac{1}{ 3^{1} +1 } + \frac{1}{ 3^{2} +1 } = \frac{7}{20}$$ $$U3 = \frac{1}{ 3^{1} +1 } + \frac{1}{ 3^{2} +1 } + \frac{1}{ 3^{3} +1 } = \frac{27}{70}$$ $$Un = \frac{1}{ 3^{1} +1 } + \frac{1}{ 3^{2} +1 } + \frac{1}{ 3^{3} +1 } + ... + \frac{1}{ 3^{n} +1 } = ?$$

Путем преобразований нашел такое рекуррентное соотношение: $$U(n+3) = U(n+2) + \frac{1}{ \frac{4}{U(n+2) - U(n+1)} - \frac{3}{U(n+1)-U(n)} } $$

Если в нем $$U(n+k)$$ заменить на $$x^{n+k}$$ и решить соответствующее уравнение, то корни: $$x1 = \frac{1}{3}, x2 = x3 = 1$$

А вот что дальше делать не знаю.

задан 28 Янв '14 21:20

изменен 28 Янв '14 21:25

Рекуррентное соотношение здесь имеется и более простое. Если взять две, а не три последовательных разности, то между ними имеется простая арифметическая связь, осуществляемая через $%3^n$%. В частности, $$u_{n+2}=u_{n+1}+\frac{u_{n+1}-u_n}{3-2(u_{n+1}-u_n)}.$$ Но это само по себе мало что даёт. Какова Ваша конечная цель? Вам нужно найти сумму ряда, или что-то ещё?

(29 Янв '14 0:45) falcao

@falcao Мне нужно найти общий вид n-ого члена последовательности, то есть фактически сумму $$\frac{1}{ 3^{1} +1 } + \frac{1}{ 3^{2} +1 } + \frac{1}{ 3^{3} +1 } + ... + \frac{1}{ 3^{n} +1 }$$

(29 Янв '14 10:22) Димка74

Проблема в том, что никакого удачного "сворачивания" сумм типа $%1/(x+1)+1/(x^2+1)+\cdots+1/(x^n+1)$% не просматривается. Это будут какие-то рациональные функции от $%x$%, которые равны, фактически, сами себе. Специфика числа 3 тут не помогает. Далеко не все выражения упрощаемы.

(29 Янв '14 13:44) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×349

задан
28 Янв '14 21:20

показан
633 раза

обновлен
29 Янв '14 13:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru