Найти значения a, при которых система имеет единственное решение: (x^2 - 4xy + 7y^2)(10 - |x - y|) <= 0 x(x - 2) + y(y + 6) = a Будьте добры, помогите решить

задан 28 Янв '14 21:21

10|600 символов нужно символов осталось
2

Выражение $%x^2-4xy+7y^2=(x-2y)^2+3y^2$% всегда положительно кроме случая $%x=y=0$%. Если $%(0;0)$% является решением системы, то $%a=0$%. Этот случай будет проанализирован отдельно. Если система имеет решение, отличное от нулевого, то $%|x-y|\ge10$% и $%(x-1)^2+(y+3)^2=a+10$%.

Проведём две прямые на координатной плоскости: $%y=x+10$% и $%y=x-10$%. Точки, расположенные строго между этими прямыми, не удовлетворяют неравенству с модулем. Уравнение же задаёт окружность с центром $%P(1;-3)$%. Нетрудно найти расстояние от $%P$% до границ полос. Если через $%P$% провести прямую $%x=1$%, то она пересечёт границы полосы в точках с ординатами $%11$% и $%-9$%. Расстояние от $%P$% до этих точек равно $%14$% и $%6$% соответственно, поэтому расстояния до прямых, идущих под углом 45 градусов к осям, составят $%7\sqrt2$% и $%3\sqrt2$%. Отсюда видно, что если квадрат радиуса окружности, равный $%a+10$%, составляет меньше $%(3\sqrt2)^2=18$%, то система не имеет ненулевых решений. Из этого можно заключить, что нам подходит значение $%a=0$%: система будет здесь иметь единственное (нулевое) решение.

При $%a=8$% окружность будет касаться нижнего края полосы, что даёт единственное решение $%(4;-6)$%. Соответственно, при $%a > 8$% окружность будет иметь бесконечно много общих точек с множеством решений неравенства.

Таким образом, $%a\in\{0;8\}$%.

ссылка

отвечен 28 Янв '14 23:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×527

задан
28 Янв '14 21:21

показан
587 раз

обновлен
28 Янв '14 23:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru