|
Положительные числа x, y, z удовлетворяют системе уравнений x^2 + (y^2)/3 = 9; (y^2)/3 + 3z^2 + zy = 16; 3z^2 + x^2 + 3xz = 25 Найти значение выражения sqrt(3)*((xy)/6 + (yz)/4 + (zx)/4) задан 29 Янв '14 12:28 
serg55 |
|
Равенство 9+16=25 наводит на мысль, что можно сложить первые два уравнения, вычитая из них третье. При этом получается $%2y^2/3+yz=3xz$%. С учётом этого равенства, третье из уравнений можно исключить из системы. Заметим также, что $%z\ne0$%: в противном случае $%y^2/3=16$% из второго уравнения, что противоречит первому. Итак, $%x$% выражается через $%y$% и $%z$%, и можно подставить его значение в первое уравнение. Для удобства мы умножим первое уравнение на $%z^2$% и выразим $%xz$%, что после упрощений приводит к равенству $%y^2(y^2/3+yz+3z^2)=243z^2/4$%. От первого уравнения системы можно отказаться в пользу того, что только что получилось. Второй сомножитель в левой части равен 16, согласно второму уравнению системы. Таким образом, $%64y^2=243z^2$%. Дальнейшую вычислительную часть я опускаю. В ответе получается $%\pm6$%. отвечен 29 Янв '14 17:10 
falcao |