математика - Функция с параметром

Здесь в числителе дроби выделяется множитель $%4$%, и если на него поделить, то получится функция, которая не должна принимать значений из отрезка $%[1/4;1]$%. Это значит, что требуется выяснить, при каких $%a$% уравнение $$\frac{4x-5}{4x^2-a}=\frac1k$$ не имеет решений ни при каком $%k\in[1;4]$%. Это уравнение можно записать в виде $$\frac{(4x^2-a)-k(4x-5)}{k(4x^2-a)}=0,$$ и тогда вопрос сводится к тому, при каких $%a$% квадратное уравнение $%4x^2-4kx+5k-a=0$% не будет иметь корней ни при каком $%k$% из указанного отрезка.

Здесь нужна оговорка, касающаяся возможного обращения в ноль знаменателя. Если квадратное уравнение имеет корень, при котором знаменатель обратился в ноль, то это может быть только $%x=5/4$% (ср. числитель и знаменатель дроби), и тогда $%a=4x^2=25/4$%. Этот особый случай рассмотрим отдельно. Легко видеть, что самое первое из уравнений при этом сокращается и принимает вид $$\frac4{4x+5}=\frac1k.$$ Совершенно ясно, что в этом случае знаменатель принимает любые ненулевые значения, поэтому дробь принимает значения из отрезка $%[1;4]$%. Поэтому далее можно считать, что $%a\ne25/4$% и исследовать случай отсутствия корней у квадратного уравнения.

Дискриминант там равен $%D=16(k^2-5k+a)$%, и он должен быть отрицателен, то есть $%a < 5k-k^2$% для всех $%k\in[1;4]$%, и это значит, что $%a$% должно быть меньше, чем наименьшее значение функции $%5k-k^2$% на заданном отрезке. Графиком является парабола с ветвями, направленными вниз, и она симметрична относительно середины этого отрезка. Наименьшее значение достигается на концах, и оно равно $%4$%. Это значит, что $%a < 4$%. Такое условие будет необходимым и достаточным (особая точка $%a=25/4$%, которая нам не подошла, этому условию не удовлетворяет).