математический-анализ - Оценить погрешность приближенной формулы

Погрешность оценивается просто: разложение в ряд Тейлора имеет вид $$\sin x=x-x^3/3!-x^5/5!+x^7/7!-\cdots,$$ поэтому ошибка (в ту или другую сторону) составляет $%x^5/5!-x^7/7!+\cdots$%. Предположим для начала, что $%x > 0$%. Тогда мы имеем знакочередующийся ряд, сумму которого легко оценить, если знать, что его члены убывают по модулю. Действительно, при $%a_1 > a_2 > a_3 > \cdots$% (все числа считаются положительными), ряд $%a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots$% имеет положительную сумму, так как его члены могут быть сгруппированы по два. С другой стороны, эту же сумму можно записать как $%a_1-(a_2-a_3)-(a_4-a_5)-\cdots$%, где положительные величины вычитаются из $%a_1$%, и сумма ряда оказывается меньше его первого члена.

Таким образом, разность между приближённым и точным значением синуса равна $%(x-x^3/3!)-\sin x=x^5/5!-x^7/7!+\cdots$%, что больше нуля и меньше $%x^5/120$%. Для отрицательных значений $%x$% поменяется знак ввиду нечётности функций, но абсолютная величина ошибка окажется той же. Поэтому можно оценить погрешность величиной $%|x|^5/120$% для общего случая.

Выше было отмечено, что рассуждение работает в случае, когда члены ряда по модулю будет убывать. Это происходит при $%x^2 < 7!/5!=7\cdot6=42$%, что заведомо верно при $%0 < x < 2\pi$%, а для других значений при оценке надо опираться на периодичность функции.