Подскажите, пожалуйста, как решать такой пример? Оценить погрешность приближенной формулы sin x = x-x^(3) /3

задан 29 Янв '14 23:55

изменен 31 Янв '14 15:11

Deleted's gravatar image


126

где = это знак приблизительно

(29 Янв '14 23:55) mishammm

вроде бы нужно использовать формулу a-a^(3)/3! + a^(5)/5!+a^(7)/7! ... такое вот вычитал. правда не знаю правильно ли

(30 Янв '14 0:32) mishammm

Там в знаменателе факториал должен быть, то есть $%\sin x\approx x-x^3/3!$%.

(30 Янв '14 0:33) falcao

странно так и пишет sin x = x - x^(3) / 6 . я ошибся вместо 3 надо 6 после 6 ничего не стоит, может в условии забыли дописать. я бы кинул картинку но не знаю как. просто как формулу здесь использовать ...

(30 Янв '14 0:37) mishammm

Можно написать 3!, а можно 6 -- это одно и то же. Но просто 3 будет уже неверно.

Ниже я всё описал подробно.

(30 Янв '14 0:49) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Погрешность оценивается просто: разложение в ряд Тейлора имеет вид $$\sin x=x-x^3/3!-x^5/5!+x^7/7!-\cdots,$$ поэтому ошибка (в ту или другую сторону) составляет $%x^5/5!-x^7/7!+\cdots$%. Предположим для начала, что $%x > 0$%. Тогда мы имеем знакочередующийся ряд, сумму которого легко оценить, если знать, что его члены убывают по модулю. Действительно, при $%a_1 > a_2 > a_3 > \cdots$% (все числа считаются положительными), ряд $%a_1-a_2+a_3-a_4+\cdots$% имеет положительную сумму, так как его члены могут быть сгруппированы по два. С другой стороны, эту же сумму можно записать как $%a_1-(a_2-a_3)-(a_4-a_5)-\cdots$%, где положительные величины вычитаются из $%a_1$%, и сумма ряда оказывается меньше его первого члена.

Таким образом, разность между приближённым и точным значением синуса равна $%(x-x^3/3!)-\sin x=x^5/5!-x^7/7!+\cdots$%, что больше нуля и меньше $%x^5/120$%. Для отрицательных значений $%x$% поменяется знак ввиду нечётности функций, но абсолютная величина ошибка окажется той же. Поэтому можно оценить погрешность величиной $%|x|^5/120$% для общего случая.

Выше было отмечено, что рассуждение работает в случае, когда члены ряда по модулю будет убывать. Это происходит при $%x^2 < 7!/5!=7\cdot6=42$%, что заведомо верно при $%0 < x < 2\pi$%, а для других значений при оценке надо опираться на периодичность функции.

ссылка

отвечен 30 Янв '14 0:48

спасибо и последнее. как вычислить sin(1) с точностью e=0.01 и sin(1)^0 с e = точностью 0.001. я разложил в ряд 1-x^(3)/3!+x^(5)/5! а дальше не знаю ((

(30 Янв '14 13:57) mishammm

кажеться понял, надо брать некоторый степень и разложить пока не выйдет 0,01

(30 Янв '14 14:24) mishammm

Для вычисления $%\sin1$% достаточно приближения с участием кубов. Выше было показано, что погрешность не превосходит $%|x|^5/120$%. При $%x=1$% это 1/120, что меньше 0.01. А что во втором примере, я не понял. Чему там равно x?

(30 Янв '14 16:08) falcao

бллее менее понял ка надо делать. надо просто упцскаться до точности меньшую за данную например дано 0,01 надо чтобы в результате выходило меньшее число чем 0,01

(30 Янв '14 19:44) mishammm
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,940
×51

задан
29 Янв '14 23:55

показан
3783 раза

обновлен
30 Янв '14 19:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru