$%O_1$% и $%O_2$% центры описанной и вписанной окружностей треугольника $%ABC$%. Прямая $%O_1O_2$% пересекает сторону $%AB$% в точке $%D.$% $%DH\perp AC,DE\perp BC.$% Найдите сумму $% BD+CE+AH,$% если $%AB=c, BC=a, AC=b.$%

задан 30 Янв '14 0:31

изменен 30 Янв '14 0:32

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь достаточно просто догадаться, что в ответе должен быть полупериметр. Рассмотрим теперь доказательство. Точки $%D'$%, $%H'$%, $%E'$%, расположенные на сторонах треугольника $%AB$%, $%AC$%, $%BC$% соответственно, назовём согласованными, если сумма $%BD'+CE'+AH'$% равна полупериметру треугольника, то есть совпадает со значением "симметричной" суммы $%AD'+BE'+CH'$%.

Легко видеть, что согласованными будут проекции как точки $%O_1$% (середины отрезков), так и проекции точки $%O_2$% (где обе суммы одинаковы из соображения равенства длин касательных). Таким образом, у нас есть две "базисные" точки, и из соображений линейности тогда можно вывести, что любая точка прямой $%O_1O_2$% даёт согласованные проекции. В частности, это будет справедливо для точки $%D$% из условия.

Для примера можно рассмотреть три точки, являющиеся, скажем, серединами отрезков, концами которых служат проекции точек $%O_1$% и $%O_2$%. Там из чисто арифметических соображений понятно, что такие точки снова окажутся согласованными. В общем случае надо рассмотреть проекцию произвольной точки прямой $%O_1O_2$%, делящей отрезок $%O_1O_2$% в некотором отношении $%\lambda$% (не обязательно между нулём и единицей). Тогда проекции такой точки будут в этом же отношении делить каждый из отрезков $%D_1D_2$%, $%E_1E_2$%, $%H_1H_2$%, где нижним индексом $%1$% идут середины сторон, а индексом $%2$% снабжены точки касания вписанной окружности. Удобно ввести понятие ориентированного расстояния для двух точек на стороне треугольника: если эти точки следуют в одном порядке (против часовой стрелки), то расстояния берутся со знаком плюс, а в противном случае со знаком минус. Тогда нужный нам вывод следует из чисто арифметических соображений. Ориентированная сумма расстояний от вершин до согласованных точек (на сторонах с этими вершинами) равна нулю, что эквивалентно изначальному определению. А такая функция обладает свойством линейности, откуда всё следует.

ссылка

отвечен 30 Янв '14 2:10

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,025

задан
30 Янв '14 0:31

показан
726 раз

обновлен
30 Янв '14 2:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru