(Правильный)октаэдр вписан в ед. куб так, что его вершины лежат на ребрах куба. Найти его сторону.

задан 30 Янв '14 12:05

изменен 31 Янв '14 15:07

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Я рассмотрю одну из возможностей вписать октаэдр и найду длину ребра. Доказывать единственность такой конструкции -- задача возможная, но технически не самая лёгкая, и я думаю, что здесь это просто не имеется в виду.

Итак, вершины одной из граней октаэдра поместим на рёбрах куба на одинаковом расстоянии $%x$% от начала координат. Три оставшиеся вершины получаются отражением относительно центра куба. Надо проверить, при каком $%x$% возникают вершины октаэдра. Для этого достаточно, чтобы лучи, выходящие из центра куба, шли к этим вершинам под прямым углом. Это значит, что соответствующие направления будут задавать прямоугольную систему координат, и октанты этой системы будут задавать 8 граней октаэдра.

Возьмём одну из точек -- например, с координатами $%(x,0,0)$%. Квадрат расстояния до центра куба, имеющего координаты $%(1/2;1/2;1/2)$%, равен $%(x-1/2)^2+(1/2)^2+(1/2)^2=x^2-x+3/4$%. Квадрат расстояния до точки $%(0,x,0)$% точно такой же. А квадрат расстояния между точками $%(x,0,0)$% и $%(0,x,0)$% равен $%2x^2$%. Для того, чтобы треугольник с рассматриваемыми вершинами оказался прямоугольным, должно выполняться соотношение из теоремы Пифагора. Треугольник здесь является равнобедренным, откуда $%2(x^2-x+3/4)=2x^2$%, то есть $%x=3/4$%. Тогда длина стороны (ребра) октаэдра равна $%3\sqrt2/4$%.

ссылка

отвечен 31 Янв '14 5:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,738
×1,092
×476

задан
30 Янв '14 12:05

показан
1072 раза

обновлен
31 Янв '14 5:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru