$$3x^2+3xy+2x-y=56 $$

задан 30 Янв '14 16:31

10|600 символов нужно символов осталось
1

Выделяя полные квадраты, мы можем привести левую часть к сумме или разности квадратов, а в правой части будет некоторая константа. В данном случае получается разность квадратов, и после упрощения возникает такое уравнение: $$(3x-1)(x+y+1)=55.$$ Здесь можно прямым раскрытием скобок проверить, что это эквивалентно исходному уравнению. А можно получить то же самое, если $%2x$% представить как $%3x-x$%, группируя три первых члена.

Все целочисленные решения выписываются на основании того, что число $%55$% имеет целочисленные делители вида $%\pm1;\pm5;\pm11;\pm55$%. Их всего $%8$%, но только 4 из них имеют вид $%3x-1$%. Поэтому решений в целых числах возникает в точности четыре. Их нетрудно выписать. Но здесь нас интересуют только целые положительные решения, поэтому отрицательные делители можно не рассматривать. Числа 1 и 55 не подходят в качестве $%3x-1$%. Для случая $%5\cdot11$% получается $%x=2$%, $%y=8$%. Случай $%11\cdot5$% ведёт к $%y=0$%. Поэтому в целых положительных числах имеется в точности одно решение $%(x;y)\in\{(2;8)\}$%.

Добавление. Здесь я хочу дополнить свой ответ общими замечаниями по поводу способов решения такого рода задач.

Первый подход: "угадывание" разложения на множители. В некоторых случаях оказывается, что уравнение можно представить в виде $%(a_1x+b_1y+c_1)(a_2x+b_2y+c_2)=d_2$%, где перемножаются два многочлена первой степени с целыми коэффициентами. Речь идёт о быстром способе восстановления этих коэффициентов.

Когда мы раскрываем скобки в произведении, то имеется ровно один случай, когда возникает $%x^2$% с коэффициентом: это $%a_1x\cdot a_2x=a_1a_2x^2$%. В нашем случае должно получиться $%3x^2$%, а это может быть только при условии, что $%3x$% умножилось на $%x$%, и больше никак. (Конечно, могло быть ещё $%-3x$% и $%-x$%, но это сводится к предыдущему.)

Теперь можно считать, что у нас имеется произведение вида $%(3x+b_1y+c_1)(x+b_2y+c_2)$%. После раскрытия скобок получается коэффициент $%b_1b_2$% при $%y^2$%, и он должен быть равен нулю, так как $%y^2$% в левой части исходного уравнения отсутствует. Далее, $%3b_2+b_1=3$% из сравнения коэффициентов при $%xy$%. Здесь возникает, вообще говоря, два варианта: $%b_2=0$%, и тогда $%b_1=3$%, или же $%b_1=0$%, и тогда $%b_2=1$%. Первый вариант ведёт к тому, что коэффициент при $%y$% будет всегда делиться на $%3$%, но у нас в уравнении этого не наблюдается, и мы останавливаемся на варианте $%(3x+c_1)(x+y+c_2)$%. Здесь уже очевидно, что $%c_1=-1$% (для возникновения $%-y$%), и $%c_2=1$% (чтобы $%3c_2x+c_1x$% равнялось $%2x$% из уравнения).

Можно потренироваться применять этот способ следующим образом: перемножить какие-нибудь два многочлена типа $%5x-2y+3$% и $%x+3y-2$%, раскрыть скобки, привести подобные члены, и далее "забыть", какие были сомножители. А потом попытаться их восстановить описанным выше методом.

Но этот подход работает не всегда: может так оказаться, что выражение из левой части уравнения приводит не к разности квадратов, а к сумме. Заранее может не быть известно, какой из вариантов имеет место, поэтому в некоторых случаях имеет смысл подходить с точки зрения квадратных уравнений. Но тогда лучше всего выделять полные квадраты: это эквивалентно нахождению дискриминанта.

Итак, смотрим на $%x$% как на переменную, а на всё остальное как на параметры. Разделив на коэффициент при $%x^2$%, получаем трёхчлен $%x^2+px+q$%, где $%p$% и $%q$% как-то зависят от параметров. Выражение $%x^2+px$% возникает как часть полного квадрата $%(x+p/2)^2=x^2+px+(p/2)^2$%. Поэтому уравнение переписываем в виде $%x^2+px=-q$%, прибавляем к обеим частям $%(p/2)^2$% (то есть дополняем левую часть до полного квадрата), и получается $%(x+p/2)^2=p^2/4-q$%, где в правой части стоит дискриминант, делённый на 4.

Дальше анализируем этот дискриминант, который будет многочленом от $%y$%. Коэффициент при $%y^2$% может иметь любой знак, и в зависимости от этого у нас итогово получится сумма или разность квадратов. С выражением в правой части действует точно так же. А именно, выносим за скобку коэффициент при $%y$%, и получаем выражение вида $%k(y^2+sy+t)$%, где $%s$% и $%t$% уже будут константами. С этим выражением проделываем то же самое, то есть преобразуем его как $%y^2+sy+t=(y+s/2)^2+t-s^2/4$%. В конечном итоге это даёт представление левой части уравнения в виде суммы или разности квадратов, а в правой части возникает константа.

Можете попробовать применить этот способ для данного примера. Вычисление будут довольно длинные, и вообще этот пример можно решать намного проще, но для общего случая может потребоваться такой более подробный анализ.

ссылка

отвечен 30 Янв '14 17:08

изменен 31 Янв '14 19:57

А как вы упрощали?

(30 Янв '14 19:36) Amalia

@Amalia: я решал "долгим" способом, выделяя полные квадраты. Но так решать я не рекомендую. Вы можете попробовать, убедившись в том, что это длинно. Основная идея простая: считаете $%x$% переменной, а всё остальное -- параметрами. И решаете как решали бы квадратное уравнение.

Самым правильным подходом было бы искать разложение на множители. $%3x^2$% есть произведение $%3x$% на $%x$%. Значит, должно быть $%(3x+...)(x+...)$%. Чтобы возникло $%3xy$%, во второй скобке должно быть $%y$%. Получается $%(3x+...)(x+y+...)$%. И так постепенно восстанавливаем картину.

(30 Янв '14 20:28) falcao

Я пыталась приравнять к нулю и через дискриминант разложить, дискриминант плохой, как тут быть? Второй способ мне не очень понятен

(30 Янв '14 20:33) Amalia

@Amalia: можно рассмотреть в деталях оба способа. Предлагаю начать со второго, потому что он более простой. И тогда давайте пошагово отслеживать, если что-то непонятно. Я предлагаю некую логику рассуждений, которая должна стать полностью ясной в конце, когда придём к цели. Мы ищем разложение на множители. В левой части хотим получить произведение, а в правой константу. При раскрытии скобок должно получиться уравнение из условия. Я показал, как прийти к $%(3x+...)(x+y+...)$%. Слагаемые $%3x^2$% и $%3xy$% при этом появятся. Какое должно быть следующее действие? Что будет после $%3x$%?

(30 Янв '14 20:52) falcao

А тут можно еще 56 разложить как 55+1; единицу перенести и через дискриминант решать, только сложно додуматься до этого будет и как по скобкам так раскладывать мне тоже сложно понять.

(30 Янв '14 21:09) Amalia

@Amalia: да, и так тоже можно. Поскольку способов много, выбирать надо самый простой в реализации. То есть лучше всего исходить из того, что "хорошее" разложение на множители точно должно быть -- в противном случае задачу бы не стали давать. Зная, что оно есть, его можно найти подбором. Этот метод является математически строгим, потому что когда разложение найдено, мы "честно" раскрываем скобки и формально проверяем, что разложение верное. И способ его "угадывания" становится "законным" вне зависимости от того, что мы делали. Насчёт скобок -- задавайте конкретные вопросы "пошагово".

(30 Янв '14 21:24) falcao

А может лучше полные квадраты разобрать? В скобках мне с самого начала непонятно

(30 Янв '14 21:32) Amalia

@Amalia: Вы зря отказываетесь от разбора этого более простого случая. Что означает слово "непонятно"? То, что Вы на данный момент этот способ ещё не освоили до конца. Но он полезен для решения задач и часто применяется. Разложение на множители, группировка -- всё это очень часто возникает в задачах как в "буквенном" виде, так и в "численном". Поэтому имеет смысл его разучить, преодолев то, что всего лишь кажется непонятным (до освоения), а потом так казаться уже не будет.

(30 Янв '14 21:51) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

Предлагаю на мой взгляд наименее энергозатратный способ: Вы решали уравнение как квадратное и получили плохой дискриминант. Решите это уравнение относительно "у" и получите рациональную неправильную дробь (3x^2+2x-56)/(1-3x). Разделите столбиком и получите целую часть и дробную. y=-x-1+55/(3x-1). Отсюда следует, что (3х-1)-делитель числа 55 и т.д

ссылка

отвечен 30 Янв '14 22:52

Да, это весьма удобный способ.

(30 Янв '14 23:04) falcao

А дальше что делать?

(31 Янв '14 13:13) Amalia

@Amalia: а дальше просто перебираем все целочисленные делители числа 55, которые нам известны "поимённо". Это то, что у меня в решении выписано.

(31 Янв '14 19:18) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×683

задан
30 Янв '14 16:31

показан
1869 раз

обновлен
31 Янв '14 19:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru