|
$$(2^{x+1} + 2^{x-1} + 2^{1-x})\cdot \sin(\pi\cdot x/2) + \cos(\pi\cdot x) = 3 + 2^{2x-1}$$ Знаю, что решение x = 1. Собственно это довольно несложно заметить. Но как по-хорошему решить, подскапожалуйста. задан 30 Янв '14 18:02 
Curtis Ferdi... |
|
Я это уравнение точно видел на данном форуме, но ссылку никак не могу найти. Коротко напомню схему решения. Это именно то, на что обратил внимание @Dragon65. Нужно ввести одну переменную для экспоненты (например, $%t=2^{x-1}$%), и одну для синуса (скажем, $%b=\sin{\pi x/2}$%). Тогда косинус выражается через $%b$% по формуле двойного угла, и далее получается кубическое уравнение относительно $%t$%. Оно же является квадратным относительно $%b$%, то есть можно опираться на это соображение. Так или иначе, уравнение имеет разложение на множители: $%(2t-b)(t^2-2bt+1)=0$%. Случай $%2t=b$% приводит к уравнению $%2^x=\sin(\pi x/2)$%, которое решений не имеет (отдельно смотрим на положительные $%x$% и на прочие). У уравнения $%t^2-2bt+1=0$% легко найти дискриминант, заключив далее, что он равен нулю, $%b^2=1$%, и $%t=b$%. Ввиду положительности $%t$%, значение $%b$% равно 1, и тогда оказывается, что $%2^{x-1}=\sin(\pi x/2)=1$%, откуда ясно, что $%x=1$%, причём это значение подходит. отвечен 31 Янв '14 4:20 
falcao Я не понял, как разложили кубическое уравнение на множители, т.к. получается следующее уравнение $%2t^3-5t^2b+2b^2t+2t-b=0$% и оно никак не раскладывается на те множители, которые получились у вас.
(1 Фев '14 13:32)
Timofey Pec...
Давайте раскроем скобки в том произведении, которое я указал, и далее сравним с тем, что должно было получиться. Если Вы считаете, что одно не совпадает с другим -- укажите свой вариант, и тогда мы проверим, так это или нет.
(1 Фев '14 15:49)
falcao
Не могу понять, мы рассматриваем синус только на множестве от -pi/2 до pi/2, почему так?
(25 Апр '14 19:17)
Doctrina
@Doctrina: к какому месту в тексте относится Ваш вопрос? Где здесь имеется ограничение на область определения синуса?
(25 Апр '14 19:39)
falcao
@Doctrina: я сейчас понял, что Вы имели в виду. Дело в том, что эта задача уже была за какое-то время до заданного здесь вопроса, и в тот момент я её решение помнил, но ссылку не смог найти, и ограничился кратким пересказом того, что было. В оригинале там было ещё одно неравенство, дающее ограничение на значения $%x$%, а именно, $%x\ge-2$%. На таком множестве всё в порядке, а если рассматривать на $%\mathbb R$%, то там есть много других решений, которые в явном виде не выразить. А ссылку я сейчас всё-таки нашёл: можно посмотреть здесь.
(25 Апр '14 19:57)
falcao
Да, я не поняла, почему первый случай не имеет решений. Теперь ясно, спасибо.
(25 Апр '14 20:00)
Doctrina
показано 5 из 6
показать еще 1
|
Я тоже долго сидел над этим заданием, через замену t я выразил все степени двойки, через замену b я выразил тригонометрические функции(они выражаются друг из друга) и получилось уравнение 3 степени где решения могут быть среди делителей свободного члена и у меня получилось $%b^3=b$% вроде, а такое возможно только при 1)