Пожалуйста, помогите решить задание. Найти все целые решения уравнения $$3(x-3)^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2=33$$

задан 30 Янв '14 22:54

10|600 символов нужно символов осталось
0

Решение. Левая часть делится на 3. Значит, z делится на 3. (Значит, z=0 или 3 по модулю). Если 3(по модулю) то исходное уравнение после сокращения имеет вид (x-3)^2+11y^2=5. Очевидно, что нет целых решений. Остается, Z=0. тогда после сокращения уравнение имеет вид (x-3)^2+2y^2=11. Это возможно исключительно при {y^2=1 ;(x-3)^2=9. Ответ: (6,-1,0); (6,1,0); (0,-1,0);(0;1;0).

ссылка

отвечен 30 Янв '14 23:53

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь можно опираться на то, что слагаемые в левой части неотрицательны, и поскольку сумма равна 33, то модули возводимых в квадрат чисел не могут быть слишком большими. Уже это соображение сводит всё к рассмотрению конечного числа случаев. Но на практике, конечно, мы хотим избежать "механического" разбора слишком большого числа вариантов.

Здесь бросается в глаза, что все коэффициенты кроме одного кратны трём. Из этого следует, что $%2z^2$% нацело делится на $%3$%, и можно положить $%z=3t$%, где $%t$% целое. После подстановки и сокращения на 3 получается уравнение $%(x-3)^2+2y^2+6t^2+9y^2t^2=11$%, где число в правой части стало ещё меньше.

Ясно, что $%t^2 < 2$%, то есть $%t=0$% или $%t=1$%. Сначала разберём второй случай. Он означает, что $%(x-3)^2+11y^2=5$%. Ясно, что так не бывает: $%y$% здесь обращается в ноль, но 5 не является квадратом целого.

Итак, $%t=0$%, и $%(x-3)^2+2y^2=11$%. Значение $%y^2$% не превышает 5, и в этом качестве подходят только 0, 1, 4. Первое и последнее значение не годится, так как числа 11 и 3 не будут квадратами. Значит, $%y=\pm1$%, $%x-3=\pm3$%. Решений оказывается в точности четыре: $%x$% равно 0 или 6, $%y$% равно $%1$% или $%-1$% (в любой из комбинаций), $%z$% равно 0.

ссылка

отвечен 30 Янв '14 23:58

Большое спасибо! Галочка почему-то не нажимается для приняти ответа.

(31 Янв '14 16:34) Анна-Мария

@Анна-Мария: принять ответ можно только у одного из участников. Поскольку Вами уже принят ответ @Nynko, то принять его второй раз уже нельзя.

(31 Янв '14 16:51) falcao

А жаль.Вы,конечно, объяснили более подробно.Спасибо!Зато я вам поставила то, что ответ понравился.

(31 Янв '14 17:03) Анна-Мария

@Анна-Мария: тут всё в порядке. Решение, предложенное @Nynko, вполне заслуживает принятия. Оно короткое, но при этом полное.

(31 Янв '14 17:18) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,733

задан
30 Янв '14 22:54

показан
827 раз

обновлен
31 Янв '14 17:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru