Найти при каких значениях параметра $%a$% данная система имеет единственное решение. $%x =\begin{cases}(x^2-4xy+7y^2)(10-|x-y|) \leq 0 & \\x(x-2)+y(y+6)=a &\end{cases} $% Первое уравнение я привел к виду: $%((x-2y)^2+3y^2)(10-|x-y|)\leq0$% Второе уравнение я привел к виду $%(x-1)^2+(y+3)^2=a+10$% Видно, что в первом уравнении первая скобка всегда положительна,из чего следует $%|x-y| \geq 10$% Второе уравнение представляет собой окружность с центром в точке $%(1;-3)$% и радиусом $%\sqrt{a+10} $% Единственно решение будет в том случае, если для окружности с заданным радиусом условие $%|x-y| \geq 10$% выполнится 1 раз . По мере увеличения окружности я нашёл точки $%(1;-9) и (7;-3)$% Это предельный случай, и в случае увеличения радиуса решений будет бесконечно много, но нужно чтобы оно было одно, либо ни при каких $%a$%,либо я где-то ошибся, посмотрите) задан 31 Янв '14 12:07 Dragon65 |
То, что в первом уравнении первая скобка всегда положительна, это не так: она может обращаться в ноль. Это "вырожденный" случай, который надо отдельно анализировать. При этом a=0, и это число обладает нужным свойством. При остальных значениях всё сводится к задаче об окружности о полосе. То есть надо смотреть, когда окружность касается одного края полосы. Там появляется ещё одно значение a=8. Точка касания равна (4;-6). Подробности тут.
Понятно, а те две прямые, которые Вы начертили для графического обозначения решений неравенства с модулем, как к ним "прийти", или это следует просто из самого неравенства?
Прийти очень просто: надо записать неравенство с модулем в виде совокупности двух условий: $%x-y\ge10$% и $%x-y\le-10$%. Второе условие задаёт верхнюю полуплоскость с границей $%y=x+10$%, а первое -- нижнюю с границей $%y=x-10$%.