Найти при каких значениях параметра $%a$% данная система имеет единственное решение.

$%x =\begin{cases}(x^2-4xy+7y^2)(10-|x-y|) \leq 0 & \\x(x-2)+y(y+6)=a &\end{cases} $%

Первое уравнение я привел к виду: $%((x-2y)^2+3y^2)(10-|x-y|)\leq0$%

Второе уравнение я привел к виду $%(x-1)^2+(y+3)^2=a+10$%

Видно, что в первом уравнении первая скобка всегда положительна,из чего следует $%|x-y| \geq 10$%

Второе уравнение представляет собой окружность с центром в точке $%(1;-3)$% и радиусом $%\sqrt{a+10} $%

Единственно решение будет в том случае, если для окружности с заданным радиусом условие $%|x-y| \geq 10$% выполнится 1 раз .

По мере увеличения окружности я нашёл точки $%(1;-9) и (7;-3)$% Это предельный случай, и в случае увеличения радиуса решений будет бесконечно много, но нужно чтобы оно было одно, либо ни при каких $%a$%,либо я где-то ошибся, посмотрите)

задан 31 Янв '14 12:07

изменен 31 Янв '14 15:05

Deleted's gravatar image


126

То, что в первом уравнении первая скобка всегда положительна, это не так: она может обращаться в ноль. Это "вырожденный" случай, который надо отдельно анализировать. При этом a=0, и это число обладает нужным свойством. При остальных значениях всё сводится к задаче об окружности о полосе. То есть надо смотреть, когда окружность касается одного края полосы. Там появляется ещё одно значение a=8. Точка касания равна (4;-6). Подробности тут.

(31 Янв '14 15:06) falcao

Понятно, а те две прямые, которые Вы начертили для графического обозначения решений неравенства с модулем, как к ним "прийти", или это следует просто из самого неравенства?

(31 Янв '14 18:07) Dragon65

Прийти очень просто: надо записать неравенство с модулем в виде совокупности двух условий: $%x-y\ge10$% и $%x-y\le-10$%. Второе условие задаёт верхнюю полуплоскость с границей $%y=x+10$%, а первое -- нижнюю с границей $%y=x-10$%.

(31 Янв '14 19:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0
ссылка

отвечен 31 Янв '14 20:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×528

задан
31 Янв '14 12:07

показан
2835 раз

обновлен
31 Янв '14 20:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru