В шар радиусом 10 вписан конус с наибольшей площадью боковой поверхности. Найдите площадь основания конуса.

задан 31 Янв '14 15:22

изменен 4 Фев '14 14:34

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%L$% -- длина образующей конуса, $%r$% -- радиус его основания, $%R=10$% -- радиус шара. Рассмотрим сечение шара плоскостью большого круга. При этом получается равнобедренный треугольник с боковой стороной $%L$% и основанием $%2r$%. Обозначим через $%x$% угол между осью конуса и его образующей. Тогда $%L=2R\cos x$%, $%r=L\sin x=2R\cos x\sin x$%. Площадь боковой поверхности конуса равна $%\pi rL$%, то есть надо максимизировать произведение $%rL=4R^2\cos^2x\sin x$%. Полагая $%t=\sin x$%, рассмотрим функцию $%\cos^2x\sin x=(1-t^2)t=t-t^3$%, заданную на множестве $%t\in(0;1)$% (синус острого угла принимает именно эти значения). При помощи производной решаем задачу на экстремум. Производная функции равна $%1-3t^2$%, она обращается в ноль при $%t^2=1/3$%. Она положительна при $%t < 1/\sqrt3$% и отрицательна при $%t > 1/\sqrt3$%, то есть в точке $%t=1/\sqrt3$% функция принимает наибольшее значение.

Нас интересует площадь основания конуса, равная $%\pi r^2$%. Согласно формулам, приведённым выше, $%r^2=4R^2\cos^2x\sin^2x=8R^2/9$%, так как у нас $%\sin^2x=t^2=1/3$% и $%\cos^2x=1-1/3=2/3$%. Отсюда получается ответ.

ссылка

отвечен 31 Янв '14 16:47

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $$\alpha$$ - угол между осью конуса и его образщующей; $$\beta$$ - угол развёртки конуса; L - длина образующей конуса; R – радиус шара; r – радиус основания конуса. Тогда: $$r/L = sin \alpha ; L = 2R cos\alpha$$; Площадь развёртки конуса: $$S = \pi L^{2} \times \beta/360$$; $$\beta/360 = sin \alpha$$. Или: $$S = \pi \times 4R^{2}(cos\alpha)^{2} sin\alpha$$ $$. Производная \по\ \alpha \равна \нулю: (tg\alpha)^{2} = 1/2; т. е.: sin\alpha = \sqrt{3}/3; cos\alpha = \sqrt6/3$$ s = $$\pi r^{2} =\pi (2Rsin2\alpha)^{2}$$
s = $$1600\pi/9$$ После @falcao не следовало бы искать решение, но - долго провозился: жалко стало трудов

ссылка

отвечен 31 Янв '14 23:02

изменен 1 Фев '14 0:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,097

задан
31 Янв '14 15:22

показан
740 раз

обновлен
1 Фев '14 0:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru