Недавно прошли тему "Тригонометрия". Очень занимательно. Учитель задал вот такую задачку. Прошу помощи в ее решении! При каких значениях параметра А уравнение x^3 - x - sin(A) + sin(A)^3 = 0 имеет ровно два различных вещественных решения? задан 31 Янв '14 17:26 Вадим_Молодец |
Положим $%z=\sin A$%, где $%|z|\le1$%, и тогда уравнение примет вид $%x^3+z^3=x+z$%, то есть $%(x+z)(x^2-xz+z^2)=x+z$%. Одним из корней будет $%x=-z$%. При $%x\ne-z$% на $%x+z$% можно сократить, и получается квадратное уравнение $%x^2-xz+z^2-1=0$%. Его дискриминант равен $%D=4-3z^2$%. С учётом того, что $%|z|\le1$%, он всегда положителен, и квадратное уравнение имеет два различных вещественных корня. В общем случае корней у исходного уравнения будет три, но их всё-таки будет два, если $%x=-z$% является одним из двух корней квадратного уравнения. Подставляя это значение в уравнение, мы получаем условие на $%z$%, при котором корней будет ровно два. Значения $%A$% при этом находятся через арксинус. отвечен 31 Янв '14 18:30 falcao |