Пусть $%f(x)$% – периодическая функция с периодом $%1$%, такая, что $%f(x)=x^2$% при $%x\in[0;1]$% . Решите уравнение $%f(2x+5)+2f(x)=1$%

задан 31 Янв '14 17:54

Изначально,я собирался просто подставить $%(2x+5)^2$% и $%x^2$% вместо $%f(2x+5)$% и $%f(x)$% соответственно и просто отобрать корни которые попадали бы в заданные промежутки ($% [-2.5;-2]$% для $%f(2x+5)$% и $%[0;1]$% для $%f(x)$%),но таких я не нашел...

(31 Янв '14 17:54) rumotameru

Так же я думал использовать тригонометрию, т.к левая часть равна $%1$% и область определения [0;1] из условия схожа с областью определения синуса и косинуса.Поэтому я хотел представить уравнение как основное тригонометрическое тождество и как нибудь это использовать ,но не знаю как

(31 Янв '14 17:54) rumotameru

Еще мне не очень понятно условие: если период функции $%f(x)$% равен $%1$% то по определению периодической функции $%f(0)=f(0+1)$% что по условию значит что $%1=0$%.что мне не нравится... Или это не так?

(31 Янв '14 17:54) rumotameru
10|600 символов нужно символов осталось
0

Условие надо скорректировать, считая, что $%f(x)=x^2$% при $%x\in[0;1)$%. В противном случае функцию периодически продолжить нельзя.

При таком скорректированном варианте получается, что $%f(x)=\{x\}^2$%, где фигурные скобки обозначают дробную часть. Ввиду того, что функция $%f(2x+5)$% тоже будет иметь период 1, уравнение достаточно решить на промежутке $%[0;1)$%, а затем прибавить число, кратное периоду (как и в тригонометрических уравнениях).

Фактически, здесь решается уравнение $%f(2x)+2f(x)=1$%, и надо рассмотреть два случая: $%0\le x < 1/2$% и $%1/2\le x < 1$%. В первом случае получается $%(2x)^2+2x^2=1$%, откуда $%x=1/\sqrt6$%, и это число меньше $%1/2$%, то есть оно подходит. Во втором случае $%f(2x)=f(2x-1)=(2x-1)^2$%, поскольку $%2x-1\in[0;1)$%. Тогда уравнение принимает вид $%4x^2-4x+1+2x^2=1$%, то есть $%2x(3x-2)=0$%. Число $%x=0$% не подходит для этого случая, а $%x=2/3$% подходит.

В ответе получаются две серии решений $%x=1/\sqrt6+k$% и $%x=2/3+k$%, где $%k\in{\mathbb Z}$%.

ссылка

отвечен 31 Янв '14 18:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×29

задан
31 Янв '14 17:54

показан
1414 раз

обновлен
31 Янв '14 18:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru