ABCD — треугольная пирамида. Точки А, В, С и середины рёбер AD, BD и CD лежат на некоторой сфере с центром в плоскости ABC. АВ=4 sqrt(3); AC=5 sqrt(2);BC=6 sqrt(2) . Найдите объём пирамиды.

задан 31 Янв '14 20:50

10|600 символов нужно символов осталось
1

Решение. Первым делом находите площадь треугольника АВС. По формуле Герона. Находим радиус сферы из формулы R=(abc)/(4S). Пусть боковые ребра пересекаются сферой в точках А1,В1,С1. Поскольку все боковые ребра делятся сферой пополам, то плоскость А1В1С1 параллельна плоскости АВС. Треугольник А1В1С1 подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия 1/2. Радиус окружности описанной около треугольника А1В1С1 в 2 раза меньше радиуса R, Далее по теореме Пифагора находим расстояние между плоскостями АВС и А1В1С1. Это расстояние равно h= sqrt(R^2-(R/2)^2). И наконец, высота пирамиды равна H=2h. Объем пирамиды равен 1/3 S*H

ссылка

отвечен 31 Янв '14 22:22

изменен 31 Янв '14 22:24

@Nynko: здесь можно немного "сэкономить" на нахождении величин. Дело в том, что в конце получается произведение $%R$% и $%S$%, то есть ответ в "буквенном" виде выглядит так: $%V=abc/(4\sqrt3)$%. Длины сторон, видимо, из этих соображений и подбирались. Но я это явление заметил только сейчас, по прочтении Вашего решения.

(1 Фев '14 0:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%O$% центр сферы.Точка $%О$% совпадает с центром описанной окружности треугольника $%ABC.$% Середины рёбер $%AD,CD,BD$% обозначим через $%M,K,N$%. Рассмотрим четырёхугольную пирамиду $%OMABN.$%У нее боковые ребра равни между собой, значит около трапеции $%ABNM$% можно описать окружность.А если трапеция вписана в окружность, значит она равнобокая. Значит $%AM=NB=KC\Rightarrow AD=DC=DB.$% Значит боковые ребра исходной пирамиды равны. Тогда основание высоты является точка $%O$%. Треугольник $%ODA$% прямоугольный, значит $%OM=AM=MD=R, h=DO=R\sqrt3.$%

И так

  • Надо найти $% S_{ABC}$% по трем сторонам.
  • $%R=\frac{AB\cdot BC\cdot AC}{4S_{ABC}}$%
  • $%h=DO=R\sqrt3.$%
  • $%V=\frac13 Sh.$%
ссылка

отвечен 31 Янв '14 22:31

изменен 31 Янв '14 22:46

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×102
×80

задан
31 Янв '14 20:50

показан
2213 раз

обновлен
1 Фев '14 0:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru