В прямоугольном параллелепипеде $%ABCDA'B'D'C'$% равны ребра $%AD$% и $%AA'$%. На отрезке $%A'C'$% нашлась такая точка $%K$%, что $%BK=AD'$% и прямая $%BK$% образует с прямыми $%AD'$% и $%CD'$% равные углы. Найдите угол между прямыми $%BK$% и $%AC$%. alt text

Выяснил: $%B'K=B'C'$% (например по подобию треугольников), то есть $%B'KC' $%равнобедренный. Не могу понять, что можно вывести из условия, что прямая $%BK$% образует с прямыми $%AD'$% и $%CD'$% равные углы.

задан 31 Янв '14 21:35

изменен 31 Янв '14 21:40

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь данные задачи нарочно "завуалированы". На самом деле, имеет место следующее. Дан прямоугольный параллелепипед, у которого грани $%ADD'A'$% и $%BCC'B'$% -- квадраты. Из этого, в частности, следует, что грани $%ABB'A'$% и $%A'B'C'D'$% равны, и их диагонали $%A'B$%, $%A'C'$% равны. Это значит, что треугольник $%A'BC'$% является равнобедренным с вершиной $%A'$%.

Далее, $%BK=AD'=BC'$%, то есть $%BKC'$% -- равнобедренный с вершиной $%B$%. Помимо этого, $%BK$% образует равные углы с прямыми $%BC'$% (она параллельна $%AD'$%) и $%BA'$% (параллельна $%CD'$%).

Теперь можно сделать плоский рисунок треугольника $%A'BC'$% с проведённым отрезком $%BK$%, из которого всё становится видно. Здесь $%BK$% -- биссектриса ввиду равенства углов из предыдущего абзаца. Она делит угол при вершине $%B$% на углы величиной $%x$%. Это значит, что угол $%A'BC'$% равен $%2x$%, но тогда эту же величину имеет угол $%A'C'B$% (ввиду $%A'B=A'C'$%), а также $%C'KB$% (ввиду $%BK=BC'$%. Тогда в треугольнике $%BKC'$% имеются углы величиной $%x$%, $%2x$% и $%2x$%. Их сумма равна 180 градусам, то есть $%x=36^{\circ}$%. А найти надо острый угол между $%BK$% и $%AC$%, то есть между $%BK$% и $%A'C'$%. Он равен $%2x$%, то есть 72 градусам.

ссылка

отвечен 1 Фев '14 0:11

Здорово вы нашли решение, а я (насчет равенства углов) проецировал, сопоставлял - усложнял в общем.

(1 Фев '14 0:30) kirill1771

@kirill1771: я, кстати, не сразу решил -- сначала посмотрел на рисунок; заметил, что там многие данные специально представлены в таком виде, чтобы их "расшифровывали". Но сходу я чего-то не учёл, поэтому решил отложить. Потом уже второй раз посмотрел "свежим взглядом", нарисовал треугольник A'BC' отдельно, и тогда стало всё ясно.

(1 Фев '14 0:44) falcao

@falcao:cпасибо, что пишите ход ваших действий - это очень ценно не только для меня, но и для других. P.S. а можете,пожалуйста, свой контакт дать на web-develope@mail.ru (не для вопросов по задачам - я не буду вам много писать)

(1 Фев '14 0:52) kirill1771

@kirill1771: да, мне тоже всегда интересно обсуждать "эвристическую" часть -- на примере задач любого уровня. При этом неизменно удивляет то, насколько по-разному все мыслят.

(1 Фев '14 0:59) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,025
×527

задан
31 Янв '14 21:35

показан
1109 раз

обновлен
1 Фев '14 0:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru