дифференциальные-уравнения - Как решать dy/dx=(x/y)^2 +x/y - 2

$%\frac{( dy(x))}{( dx)} = \frac{x^2}{y(x)^2}+\frac{x}{(y(x))-2}$%

Заменим $%y(x) = x v(x)$%, что дает нам: $%\frac{( dy(x)}{( dx)} = v(x)+\frac{x ( dv(x))}{( dx)}$%:

$%\frac{x ( dv(x))}{( dx)+v(x)} = \frac{1}{(v(x))}+\frac{1}{v(x)^2-2}$%

Решения для $% \frac{( dv(x))}{( dx)}$%:

$%\frac{( dv(x))}{( dx)} = \frac{(-v(x)^3-2 v(x)^2+v(x)+1)}{(x v(x)^2)}$%

Разделим обе части на $%\frac{(-v(x)^3-2 v(x)^2+v(x)+1)}{v(x)^2}$%:

$%\frac{( dv(x)}{( dx)} \frac{v(x)^2)}{(-v(x)^3-2} v(x)^2+v(x)+1 = \frac{1}{x}$%

Интегрируем обе части $%\int_{1}^{v(x)} \frac{u^2}{(-u^3-2 u^2+u+1)} du = \int_{(c_1)}^{x} \frac{1}{u} du$%

Вычисляем интегралы: $% \int_{1}^{v(x)} \frac{u^2}{(-u^3-2 u^2+u+1)} du = log_{x}+c_1$%, где $%c_1$% произвольная постоянная Обратная замена $%y(x) = x v(x)$%:

Ответ: $%\int_{1}^{\frac{y(x)}{x}} \frac{u^2}{(-u^3-2 u^2+u+1)} du = log_{x}+c_1$%