Как с помощью векторов сделать отражение луча? Вроде и формулу смог найти и там даже минимальный рисунок, но как всегда в примерах, он сделан так, что его можно посчитать, а со своими векторами не получается. И ещё я не когда не находил нормаль и не уверен в правильности нахождения. Находил её $%\vec{n}=(y_1-y_2,x_2-x_1)$% подставляя координаты прямой и луча, но не получается. Если можно, на моих координатах, покажите решение.

alt text

задан 2 Фев '14 0:38

@shatal: к сожалению, задача как таковая не сформулирована. Есть простой и довольно очевидный стандарт: указать, что в задаче дано, и что требуется получить. В таком виде всё сразу становится понятным.

Если исходить из рисунка (который может быть лишь частным случаем), и дано всё, кроме точки C, то я бы рассуждал так. Очевидно, что ордината C такая же, как у E, а абсцисса D (известная) равна полусумме абсциссы C (её мы как бы не знаем) и абсциссы E. Тогда (x+6)/2=5, то есть x=4.

(2 Фев '14 2:32) falcao

@falcao: мне грамотно сформулировать задачу для Вас, сложнее, чем объяснить австралопитеку что такое wi-fi. Дано - точки $%C, D$%, по которым нахожу $%\vec{l}$%. Так же известны длина этого вектора, так-как я его привожу к единичному. А найти нужно отражённый вектор, точнее его единичный. На рисунке у меня прямая горизонтально и направление вектора с верху в низ, но прямая может быть под любым углом и вектор иметь различные направления. Но найти нужно всегда отраженный.

(2 Фев '14 14:07) shatal

@shatal: попробую сам сформулировать -- не знаю, угадаю или нет. Даны точки AB и точка D на отрезке AB. Дана также точка C. Рассмотрим ситуацию, когда относительно AB происходит "отражение" по принципу "угол падения равен углу отражения". Требуется найти координаты "отражённой" точки (в примере это точка E).

Изначально я вообще подумал на другое, так как слово "отражение" в математическом контексте означает осевую симметрию. Правда, здесь всё тоже сводится к "базовой" задаче зеркального отражения точки относительно заданной оси.

(2 Фев '14 14:21) falcao

@falcao: Вы правильно поняли.

(2 Фев '14 14:53) shatal

Но возможно и неправильно. Тут вот в чем дело - когда прямая горизонтальна, то луч отражается, как у меня на картинке. Но если прямая вертикальна и ещё под углом 45 градусов, то луч должен отражаться вниз, а если 135 градусов, то вверх. И получается, что в расчётах нужно включить нормаль поверхности, чтобы учитывать направление.

(2 Фев '14 15:41) shatal

@shatal: угол падения равен углу отражения или нет? Если да, то всё было учтено.

(3 Фев '14 19:06) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Достаточно уметь решать такую "базовую" задачу как построение проекции точки на прямую. Если это сделать, то дальше легко осуществить и "зеркальное" отражение, и то, что Вы имели в виду в данном вопросе. Все эти задачи как бы сводятся друг к другу.

Будем считать, что прямая задана уравнением вида $%ax+by=c$%. Понятно, что если она задана двумя своими точками, то такое уравнение стандартным образом выписывается.

Координаты проектируемой точки можно обозначить через $%(x_0,y_0)$%. Что мы делаем при проектировании? Проводим через точку прямую, перпендикулярную данной, а затем ищем точку пересечения.

Как связаны между собой две перпендикулярные прямые? Очень часто удобно бывает использовать такой полезный факт: если прямые заданы уравнениями типа $%y=kx+b$%, $%y=k'x+b'$%, то их перпендикулярность означает, что произведение угловых коэффициентов равно $%kk'=-1$%. Например: была прямая $%y=3x-1$%. Мне нужно провести перпендикулярную ей через, скажем, точку $%(2;3)$%. Я уже знаю, что уравнение будет иметь вид $%y=-x/3+c$%, где $%c$% -- некая константа. Её значение я нахожу как $%c=x/3+y$%, подставляя $%x=2$%, $%y=3$%. Отсюда $%c=11/3$%.

Теперь, если мне нужна точка пересечения, то я составляю уравнение $%3x-1=(11-x)/3$%, решаю его, получаю $%x=7/5$%, и $%y=3x-1=16/5$%. Это и будет проекция точки на прямую.

В случае, если прямая имела вид $%ax+by=c$%, перпендикулярная ей задаётся уравнением вида $%bx-ay=c'$%, то есть надо поменять местами коэффициенты, и у одного из них сменить знак.

Далее, в том примере, который я рассматривал, можно найти точку, являющуюся зеркальным отражением точки $%(2;3)$% относительно прямой. Это будет такая точка $%(x;y)$%, что середина отрезка с концами в ней и в $%(2;3)$% равна $%(7/5;16/5)$%. Отсюда $%(x+2)/2=7/5$%, $%(y+3)/2=16/5$%, то есть $%x=4/5$%, $%y=17/5$%. Общая формула имеет вид $%(x;y)=2(7/5;16/5)-(2;3)$%.

Наконец, пусть нам надо совершить "отражение" точки $%C(2;3)$% в том смысле, о котором у Вас идёт речь. Здесь надо задать точку $%D$% на прямой $%y=3x-1$%, в которую будет направлен вектор из $%C$% (скажем, луч света). Положим $%D(1;2)$%. И здесь достаточно заметить (можно сделать рисунок), что предыдущую точку $%(4/5;17/5)$% достаточно отразить от точки $%D$% (это намного проще) посредством центральной симметрии. Аналогичную операцию выше уже проделывали, и здесь получится $%2(1;2)-(4/5;17/5)=(6/5;3/5)$%. Это и будет точка $%E$%.

Конечно, всё то же самое можно получить быстрее, пользуясь готовыми формулами, но мне показалось уместным описать в деталях, на каком пути всё это возникает. Пользуясь этими средствами, можно все формулы вывести самостоятельно.

ссылка

отвечен 2 Фев '14 16:04

10|600 символов нужно символов осталось
3

По физике: угол падения равен углу отражения - там можно через тангенс угла падения.

А по векторам: $%l$% - падающий вектор; По вашей формуле можно и не находить вектор нормали, а выразить: $%\overrightarrow{r} = \overrightarrow{l} -2 \overrightarrow{n} \frac{\overrightarrow{l} \times \overrightarrow{n}}{\overrightarrow{n}\times \overrightarrow{n}} =\overrightarrow{l}- \frac{2\overrightarrow{l}\overrightarrow{n}^{2} }{\overrightarrow{n}^{2}} =\overrightarrow{l}-2\overrightarrow{l}=-\overrightarrow{l}$%

ссылка

отвечен 2 Фев '14 1:02

изменен 2 Фев '14 1:16

А почему неправильно? $%\vec{cd} = (5-4,2-5)$%, почему должно быть -1?

(2 Фев '14 1:06) shatal

Так это точно CD, а не CA

(2 Фев '14 1:12) kirill1771

Это вопрос или утверждение? СА мне не нужно, вектор cd.

(2 Фев '14 1:27) shatal
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×87

задан
2 Фев '14 0:38

показан
6890 раз

обновлен
3 Фев '14 19:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru