$$ x^2(x-2)/(x+2)+ax^2+ax/(x+2)-2ax+a^2 \geq 0$$

задан 2 Фев '14 18:52

10|600 символов нужно символов осталось
3

Можно рассмотреть неравенство как квадратичное относительно переменной $%a$%. Дискриминант там имеет такой вид: $$D=\frac{x^2(x^2-5)^2}{(x+2)^2}.$$ Отсюда возникает разложение на множители: $$\frac{(x^2-2x+a)(ax+2a+x)}{x+2}\ge0.$$ Далее всё решается методом интервалов. Корень уравнения $%ax+2a+x=0$% равен $%x=-2a/(a+1)$%, и он больше $%-2$% при всех $%a > 0$%. Далее, уравнение $%x^2-2x+a=0$% равносильно тому, что $%(x-1)^2=1-a$%. При $%0 < a\le1$% оно имеет корни $%x_{1,2}=1\pm\sqrt{1-a}$%; оба они положительны. Поэтому при $%0 < a < 1$% на числовой прямой получаются промежутки с границами $%-2 < -2a/(a+1) < 1-\sqrt{1-a} < 1+\sqrt{1-a}$%, знаки функции на которых чередуются, и на самом правом из промежутков функция имеет знак "плюс". Отсюда $%x\in(-\infty;-2)\cup[-\frac{2a}{a+1};1-\sqrt{1-a}]\cup[1+\sqrt{1-a};+\infty)$% для значений параметра $%0 < a < 1$%.

При $%a > 1$% дискриминант трёхчлена $%x^2-2x+a$% отрицателен, поэтому значение трёхчлена всегда положительно, и его можно не учитывать. Получается $%x\in(-\infty;-2)\cup[-\frac{2a}{a+1};+\infty)$%. Такой же ответ получается и при $%a=1$%, так как неравенство нестрогое, и значение $%x=1$% подходит. А в остальных точках $%(x-1)^2 > 0$%, то есть первый сомножитель также не играет роли.

ссылка

отвечен 2 Фев '14 22:11

А откуда такой дискриминант?

(3 Фев '14 18:56) Amalia

Он такой получился в результате вычислений. Считается по обычной формуле. Левая часть неравенства имеет вид $%a^2+Pa+Q$%, где $%P,Q$% -- функции от $%x$%. Если взять $%D=P^2-4Q$% и привести дробные выражения к общему знаменателю, то получится именно такой дискриминант.

(3 Фев '14 19:01) falcao

Ещё добавлю, что при вычислении $%D$% удобно вынести за скобку $%x^2/(x+2)^2$%. Тогда вычисление становится совсем простым.

(3 Фев '14 19:08) falcao

а скобки у всех х кроме -2 квадратные?

(3 Фев '14 19:18) Amalia

В каком смысле? Скобки вообще-то всегда круглые. Квадратные скобки используются для обозначения целой части. Иногда в младших классах используют разные виды скобок, включая фигурные, чтобы дети не путали. Но вообще-то так лучше не поступать.

Здесь на самом деле речь идёт о достаточно простом вычислении. Если у Вас не получится, я могу написать в Добавлении. Это займёт одну строчку.

(3 Фев '14 19:26) falcao

Я имею в виду при х(- ∞;-2)[-2a/(a+1);1-√(1-a)][1+√(1+a);+∞) тут у значения квадратные скобки?

(3 Фев '14 19:32) Amalia

Ой, а я подумал, что это всё про дискриминант! Я там говорил о вынесении за скобки.

В ответе все нули числителя входят в множество решений, так как неравенство нестрогое, и круглой скобкой отмечается только $%-2$%.

(3 Фев '14 19:40) falcao

Все, поняла спасибо

(3 Фев '14 20:02) Amalia
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×528

задан
2 Фев '14 18:52

показан
533 раза

обновлен
3 Фев '14 20:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru