уравнения - Решить в целых числах

Выделим полный квадрат по $%z$%, то есть представим $%7z^2-42z$% как $%7(z-3)^2-63$%. Получится $%2x^2y^2+2x^2+y^2+7(z-3)^2=30$%. У первых двух написанных здесь слагаемых выделяется общий множитель $%2x^2$%, и он домножается на $%y^2+1$%. Тогда удобно добавить 1 к обеим частям, чтобы в левой части получилось $%2x^2(y^2+1)+(y^2+1)$% без учёта слагаемого с участием $%z$%. В итоге получается следующее: $%(2x^2+1)(y^2+1)+7(z-3)^2=31$%. Все слагаемые здесь неотрицательны, и поэтому $%7(z-3)^2\le31$%, откуда $%(z-3)^2$% может принимать только значения 0, 1 и 4.

В первом случае $%(2x^2+1)(y^2+1)=31$%; оба сомножителя положительны. Поскольку решается всё в целых числах, и число 31 простое, возможно только $%1\cdot31$% или $%31\cdot1$%. Однако $%y^2\ne30$% и $%x^2\ne15$%, то есть таких решений нет.

Второй случай: $%(2x^2+1)(y^2+1)=31-7\cdot1^2=24$%. Число 24 можно многими способами разложить на множители, но у нас здесь первый сомножитель нечётен. Поэтому он должен быть равен 1 или 3. Но $%y^2+1$% не равно ни 24, ни 8, то есть решений здесь также нет.

Последний случай: $%(2x^2+1)(y^2+1)=31-7\cdot2^2=3$%. Здесь понятно, что вариант $%1\cdot3$% не подходит, а для варианта $%3\cdot1$% получается $%x^2=1$%, $%y=0$%. При этом $%(z-3)^2=4$%, откуда $%z-3=\pm2$%. Получается 4 решения для тройки $%(x;y;z)$%. Это $%(\pm1;0;5)$% и $%(\pm1;0;1)$%.