Дан выпуклый пятиугольник ABCDE. Точки M,N,P и Q -- середины сторон AB,BC,CD и DE соответственно, точки H и K -- середины отрезков MP и NQ соответственно. Найти длину HK если AE=7.

задан 2 Фев '14 20:42

изменен 3 Фев '14 18:32

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
0

Эту задачу всего естественнее решать при помощи векторов. При этом все рассуждения будут верны и для случая, когда пятиугольник не является выпуклым.

Для упрощения обозначений я буду записывать векторы маленькими латинскими буквами. Пусть $%O$% -- произвольная точка пространства. Тогда вектор $%\vec{OX}$%, то есть радиус-вектор точки $%X$%, будет для краткости записываться в виде $%x$%. Это касается всех встречающихся здесь букв.

Использоваться будут только два элементарных факта: 1) всякий вектор равен разности радиус-векторов его конца и начала (например, $%\vec{XY}$% -- это $%y-x$%); 2) радиус вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов концов этого отрезка (например, если $%Z$% -- середина $%XY$%, то $%z=(x+y)/2$%.

Из условия следует, что $%m=(a+b)/2$%; $%n=(b+c)/2$%; $%p=(c+d)/2$%; $%q=(d+e)/2$%. Далее, $%h=(m+p)/2=(a+b+c+d)/4$%; $%k=(n+q)/2=(b+c+d+e)/4$%. Тогда вектор $%\vec{HK}$% равен $%k-h=(e-a)/4$%, то есть $%\frac14\vec{AE}$%. Тем самым, его длина равна 7/4.

ссылка

отвечен 2 Фев '14 23:13

А возможно ли ее решить без векторов?

(3 Фев '14 10:50) SenjuHashirama

@SenjuHashirama: в принципе, наверное, можно, но это будет искусственное и "противоестественное" решение с обилием каких-то дополнительных построений и проведения средних линий большого числа треугольников.

(3 Фев '14 12:34) falcao

ясно, спасибо. Тогда еще вопрос: как здесь догадаться что решать надо именно векторным методом, просто я когда решал, мне даже в голову такое не приходило

(3 Фев '14 14:24) SenjuHashirama
1

@SenjuHashirama: векторы очень часто оказываются полезными в тех случаях, когда где-либо возникает деление отрезка в заданном отношении. А если имеется много середин отрезков, как-то связанных между собой, то на чисто геометрическом языке бывает трудно проследить связь, и тогда идея использовать векторы сама собой напрашивается.

(3 Фев '14 14:38) falcao

Ясно, спасибо

(3 Фев '14 14:53) SenjuHashirama
10|600 символов нужно символов осталось
1

$%\vec {HK}=\vec{HM}+\vec{MA}+\vec{AE}+\vec{EQ}+\vec{QK}$%

$%\vec {HK}=\vec{HP}+\vec{PN}+\vec{NK}.$%

Если почленно сложить эти уравнения, получим векторное уравнение:

$%2\vec {HK}=\vec{MA}+\vec{AE}+\vec{EQ}+\vec{PN}=$%

$%=\frac12\vec{BA}+\vec{AE}+\frac12 \vec{ED}+\frac12\vec{DB}=\frac12(\vec{BA}+\vec{AE}+\vec{ED}+\vec{DB})+$% $%+\frac12 \vec{AE}=\vec0+\frac 12 \vec{AE}=\frac12 \vec{AE}\Rightarrow \vec{HK}=\frac14 \vec{AE} \Rightarrow HK=|\vec{HK}|=\frac14 |\vec{AE}|= \frac14 AE=\frac74.$%

ссылка

отвечен 2 Фев '14 23:05

изменен 2 Фев '14 23:08

10|600 символов нужно символов осталось
0

А разве нельзя решить по свойству отрезков, соединяющих середины диагоналей? Ведь получим тоже самое... HK=.....=1\4AE

ссылка

отвечен 16 Мар '14 1:21

@Anton: если у Вас есть идея решения, основанного на другом подходе, то изложите свои рассуждения. Тогда можно было бы сравнить.

(16 Мар '14 1:45) falcao

Да, разобрался... тоже самое вроде. HK=1\2(MN+PQ)=1\2(1\2AB+1\2BC+1\2CD+1\2DE)=1\4AE

(16 Мар '14 14:55) Anton

@Anton: дело в том, что первое из использованных Вами равенств верно для векторов, но не для длин отрезков!

(16 Мар '14 15:42) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,025

задан
2 Фев '14 20:42

показан
4069 раз

обновлен
16 Мар '14 15:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru