|
Существует круг, площадь которого S. На круг бросили равновероятно три точки а1, a2, a3. Таким образом, что a2 попала ближе к центру, чем a1. Найти условную вероятность того, что a3 бросили ближе к центру, чем a1. Результаты бросков независимые и имеют одинаковое непрерывное распределение. Пусть a1 лежит на границе круга, площадь которого S1. На мой взгляд вероятность бросить точку a3 на S1 равна S1/S. Является ли ответ правильным? Зачем в задаче условие про точку a2? задан 2 Фев '14 20:56 
Michael Afan... |
|
Задача решается из соображений симметрии, фактически без учёта специфики распределения (то есть оно даже не обязано быть равномерным). Достаточно только предположения, что совпадение значений радиусов для двух случайно брошенных точек имеет нулевую вероятность. Пусть $%r_i$% -- расстояние от точки $%a_i$% до центра ($%i=1,2,3$%). Из соображений симметрии понятно, что вероятность каждого из шести событий вида $%r_i < r_j < r_k$% одинакова и равна $%1/6$%, где $%i,j,k$% есть одна из $%3!=6$% перестановок чисел 1, 2, 3. В задаче рассматривается условная вероятность для случая $%r_2 < r_1$%. В этой ситуации $%r_3$% с равной вероятностью может находиться в одном из трёх положений (до $%r_2$%; между $%r_2$% и $%r_1$%; после $%r_1$%). Вероятность того, что $%r_3 < r_1$%, соответствует двум равновероятным случаям из трёх, поэтому она равна 2/3. отвечен 2 Фев '14 23:49 
falcao Предположение о нулевой вероятности совпадений радиусов основано на непрерывности распределения результатов бросков?
(3 Фев '14 10:52)
Michael Afan...
@Michael Afan...: я намеренно игнорировал этот вопрос, поскольку здесь ясно, что это условие должно выполняться, а следствием чего оно является -- это "забота" авторов постановки задачи. Дело в том, что есть понятие "абсолютно непрерывного" вероятностного распределения: так называют случай, когда функция распределения имеет плотность. Это понятие стандартно. А что такое "непрерывное распределение" -- это понятие "нестрогое", и его надо уточнять. Судя по всему, это и должно значить, что оно как бы "недискретное", и там соответствующие вероятности равны нулю.
(3 Фев '14 12:44)
falcao
|
Скорректируйте, пожалуйста, условие. Здесь имеется в виду круг, а не окружность (у окружности площадь равна нулю, а все точки равноудалены от центра). Далее, непонятна фраза "а1 образует окружность". Выше было сказано, что а1 -- это точка. Она не может ничего образовывать. Если имеется в виду, что а1 лежит на границе круга площадью S1, то так и надо написать.
Ответ не является правильным, так как S1 -- величина переменная. Грубо говоря, по всем значениям S1 эту величину надо сначала "усреднить".
Спасибо за замечания. Правильно ли я понимаю, что условие про a2 используется при "усреднении" S1?
@Michael Afan...: я только что поместил решение. Мне сначала казалось, что тут будут нужны вычисления, но потом я понял, что всё решается из соображений симметрии.