Независимые одинаково распределённые случайные величины -- на каком вероятностном пространстве они определены? Заранее спасибо!

задан 3 Фев '14 1:35

Вопрос звучит несколько странно. Я бы ответил "на произвольном". Про него ведь ничего не сказано, и оно может быть абсолютно любым. Это всё равно что спросить "на какой плоскости задано n различных точек?".

(3 Фев '14 1:39) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

На самом деле вопрос не так странен, как кажется на первый взгляд. Йозеф Стоянов в своей книге "Контрпримеры в теории вероятностей" приводит пример вероятностного пространства без независимых нетривиальных событий.

Определение. Пусть задано вероятностное пространство $%(\Omega,\mathcal A, P)$%. События $%\Omega,\emptyset$%, а также события, имеющие вероятность 0 или 1, называются тривиальными. Очевидно, что они всегда будут независимы.

Рассмотрим пространство $%\Omega = \{\omega_1,\dots,\omega_n\}$%, где $$P(\{\omega_1\})=1-(n-1)\varepsilon, P(\{\omega_i\})=\varepsilon, i =2,\dots,n$$,

где $%\varepsilon\in\left(0,\frac{1}{n-1}\right)\setminus\mathbb Q$% - произвольно.

Предположим, что в этом пространстве существуют нетривиальные независимые события $%A,B$%

Рассмотрим три случая.

  1. $%\omega_1 \not \in A\cup B$%
  2. $%\omega_1 \in A\Delta B$%
  3. $%\omega_1 \in A\cup B$%

Рассмотрим, например, случай 2. События нетривиальны, поэтому они содержат хотя бы один элементарный исход. Пусть $%A$% содержит $%k$% исходов их $%\omega_2,\dots,\omega_n$%, а $%B$% - $%\omega_1$% и $%l$% исходов из $%\omega_2,\dots,\omega_n$%

Тогда $%\omega_1 \not\in AB$%, т. е. $%AB$% содержит $%m$% исходов из $%\omega_2,\dots,\omega_n$%

Условие независимости запишется в виде $%m\varepsilon=(1-(n-1)\varepsilon+l\varepsilon)k\varepsilon$%, откуда $%\varepsilon=\frac{k-m}{k(n-1)-l}$%, что противоречит иррациональности $%\varepsilon$%

Случаи 1) и 3) аналогично.

Т. о. независимые события существуют в любом вероятностном пространстве и имеют вероятность 0 или 1, но существуют пространства, в которых они и только они являются независимыми.

ссылка

отвечен 3 Фев '14 10:05

@MathTrbl: я думаю, что в тех случаях, когда подразумеваются какие-то "тонкие" контрпримеры, всё принято формулировать очень аккуратно, не опуская такие слова как "нетривиальных". Кстати, в этой ситуации само "вычленение" тривиальных случаев зависимости в достаточной мере нетривиально :)

Мне кажется, там могло иметься в виду другое: если даны величины, заданные на разных пространствах, то как их задать на одном, чтобы они имели такое же распределение и были независимы. Но тогда в таком виде и надо формулировать.

(3 Фев '14 12:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,220

задан
3 Фев '14 1:35

показан
1102 раза

обновлен
3 Фев '14 12:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru