Доброго времени суток, коллеги. Обращаюсь с вопросом. Необходимо найти норму функционала L: C^(1)[-1,1]->R (в пространстве непрерывно дифференцируемых функций), L(x)=int_(-1)^1 exp(-t)x(t)dt-x(-1). Получила оценку сверху: |L(x)|<=[e-e^(-1)+1]||x||. Не удается придумать ни одну функцию (даже с разрывными производными) с единичной нормой, чтобы на ней функционал достигал значение [e-e^(-1)+1]. Максимум, что удалось получить - это [e-e^(-1)-1]. Такое впечатление, что можно уменьшить оценку сверху. Но как? С уважением.

задан 3 Фев '14 13:37

Хочу на всякий случай уточнить: норма на $%C^1$% задана стандартно, то есть как сумма максимума модуля функции и максимума модуля производной?

P.S. Вы разместили один и тот же вопрос дважды, поэтому "дубль" имеет смысл удалить.

(3 Фев '14 13:46) falcao

О норме в задании ничего не сказано. В принципе же норма может быть задана как угодно, лишь бы условиям нормы удовлетворяла. Я встречала в книгах и как Вы говорите, и как максимум модуля функции или ее производной. То, что у меня получилось (в первом посте) - это относительно второй нормы. А дубль увидела - попробую удалить :)

(3 Фев '14 14:28) 1q2w3e4r

Если не конкретизировать норму на пространстве, то понятие нормы функционала теряет смысл. Там в само определение входит норма функции в $%C^1$%, и ответ может от этого сильно зависеть. Поэтому желательно уточнить формулировку. То, что "естественные" нормы на этом пространстве могут по-разному выглядеть -- это правда.

(3 Фев '14 14:40) falcao

Ну, я понимаю, что норма функционала будет разной. Тогда в стандартной - сумма модулей функции и производной.

(3 Фев '14 15:53) 1q2w3e4r

Уважаемый falcao! А у Вас какие-то соображения по решению данной задачи? Если хотя бы намекнете, буду очень признательна. Заранее благодарна.

(3 Фев '14 17:26) 1q2w3e4r

Я пока ответа не знаю. Прежде всего, тут пока непонятно, в какую сторону надо рассуждать: снижать верхнюю оценку, или подбирать функции, у которых значение функционала близко к ожидаемому. Надо как-то пытаться подбирать разные функции, чтобы значение максимизировать, и если это не удастся, то понять причину, и изменить оценку. Я ещё какое-то время над этим хочу подумать.

(3 Фев '14 17:52) falcao

Да, спасибо. Я сейчас как раз на том этапе, что уже не удается придумать функцию, доставляющую бо'льшее значение функционалу. С уважением.

(3 Фев '14 18:03) 1q2w3e4r
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
2

Старый текст я убрал, потому что там использовалась идея, которая принципиально не работает, и ответ получался неправильный. Сейчас я попробую изложить доказательство того, что норма функционала всё-таки равна $%e-e^{-1}-1$%. Это сопряжено с некоторыми вычислениями (из чисто "качественных" соображений сделать вывод у меня не получается). Но они, в принципе, не слишком сложные.

Итак, рассмотрим ненулевую функцию $%x(t)$%. Без ограничения общности будем считать, что её максимум модуля равен 1. Меняя знак, можно добиться того, чтобы функция принимала значение 1 в некоторой точке. Разрешим рассмотрение непрерывных функций, у которых возможны разрывы первого рода у производной. Для такого расширенного класса покажем, что значения функционала не будут превосходить максимального.

Если функция где-то приняла значение 1, то можно считать, что она тождественно равна 1 при всех больших значениях $%t$%. Значение функционала от этого не уменьшится. Далее, зафиксируем некоторое значение $%x(-1)=a$% от $%-1$% до $%1$%. Если $%a\ne1$%, то функция имеет в каких-то точках положительную производную, и пусть максимум производной (или точная верхняя грань) равняется $%k$%. Поскольку значение $%a$% фиксировано, и $%x(-1)$% не зависит от $%k$%, выберем среди функций с указанными ограничениями такую, для которой интеграл принимает максимальное значение. Понятно, что таким свойством будет обладать функция, которая линейна на некотором отрезке $%[-1;b]$%, и $%x(b)=1$%. Уравнение линейной функции имеет вид $%k(t+1)+a$%, поэтому $%b=(1-a)/k-1$%.

Задача теперь свелась к нахождению максимума функции, зависящей от $%k$% и $%a$%. Норма функции $%x(t)$% в пространстве $%C^1[-1;1]$% равна $%1+k$% (как сумма максимума модуля функции и максимума модуля производной), то есть значение $%L(x)$% мы будем делить на $%1+k$%. Согласно построению, анализируемая нами функция $%x(t)$% равна 1 на $%[b;1]$% и равна $%k(t+1)+a$% на $%[-1;b]$%. Поэтому $$L(x)=\int\limits_{-1}^be^{-t}(k(t+1)+a)\,dt+\int\limits_b^1e^{-t}dt-a.$$ Получается такое выражение: $$L(x)=a(e-1)-ke^{1+(a-1)/k}+ke-e^{-1}.$$ На $%k+1$% мы пока не делим, так как исследуем зависимость от $%a$%.

Дифференцирование по $%a$% даёт $$\frac{\partial}{\partial a}L(x)=e-1-e^{1+(a-1)/k},$$ и это выражение обращается в ноль при $%a_0=1-k+k\ln(e-1)$%. Заметим, что $%a_0 < 1$%, а в точке $%a=1$% значение производной отрицательно. Таким образом, $%L(x)$% принимает максимальное значение в точке $%a_0$%. В принципе, возможен случай $%a_0 < -1$% при больших значениях $%k$%, и тогда максимум достигается в точке $%a=-1$%. Однако мы все равно подставим значение $%a_0$%, так как далее будет показано, что максимум того, что нам надо найти, достигается при $%k=0$%, откуда всё будет следовать.

На данный момент мы имеем такое неравенство: $$\frac{L(x)}{||x||}\le\frac{k(2-e+(e-1)\ln(e-1))+e+e^{-1}-1}{k+1},$$ где знак модуля у $%L(x)$% мы опустили (значения положительны), а верхней оценке соответствует значение $%a=a_0$%. При $%k=0$% получается как раз $%e-e^{-1}-1\approx1,35$%. Осталось заметить, что коэффициент при $%k$% в числителе приблизительно равен $%0,21...$%, и функция с таким свойствами убывает при $%k > 0$%, так как $%(\alpha k+\beta)/(k+1)=\alpha+(\beta-\alpha)/(k+1)$%.

ссылка

отвечен 3 Фев '14 18:24

изменен 5 Фев '14 3:22

Спасибо. Осмысливаю...

(3 Фев '14 19:55) 1q2w3e4r

Осмыслила. Вопрос: Как функционал на функции, которая стремится к нулю, не равен нулю? Это в целом.

(4 Фев '14 4:08) 1q2w3e4r

В частности. Да, исходный интеграл равен сумме интеграла по короткому отрезку и интеграла почти по полному отрезку. Потом мы его делим на норму функции. Но ведь не верно - сначала отбрасывать малый интеграл, а потом только делить на малое (норму). Производная имеет порядок eps/delta. Вы предлагаете взять eps=delta^2. Норма функции = максимум самой функции (eps) и ее производной (eps/delta) = delta^2+delta, т.е. delta. Норма функционала в этом случае 0 (на eps не удается сократить и получить заветное выражение). Если брать, например, eps=delta, то норма функции равна 1 и функционал опять 0.

(4 Фев '14 4:10) 1q2w3e4r

Меня не покидает мысль. Может, все-таки можно уменьшить верхнюю оценку. Функция e^{-t} положительна, то интеграл будет максимальным при положительных x(t), но при этом отнимание x(-1) уменьшает функционал. Для всех попробованных мною функций увеличение (от нуля) значения x(-1) приводит к более медленному уменьшению функционала за счет второго слагаемого по сравнению с увеличением за счет интеграла (первого слагаемого). А это приводит к x(t)=1, на которой функционал равен e-e^{-1}-1. Может, все-таки это и есть норма? С уважением. (извините, не разобралась, как формулы красиво набирать)

(4 Фев '14 4:11) 1q2w3e4r

Функция сама по себе нулю не равна, поэтому функционал от неё никуда не стремится. А если уменьшать норму функции, то пропорционально будет уменьшаться и значение. Это к любой функции относимо, и противоречия тут нет.

По поводу отрезка: дело в том, что значения везде пропорциональны $%\varepsilon$%. Влияет здесь поэтому только его длина, а она выбирается сколь угодно малой. Значение функции на малом отрезке меняется в пределах $%2\varepsilon$%, длина отрезка имеет порядок $%\delta$%. После деления на $%\varepsilon$% получится $%\delta$%, то есть всё как положено.

(4 Фев '14 4:22) falcao

Я сейчас осознал, что в предложенной мной конструкции всё-таки имеется дефект (боюсь, что от неё придётся по этой причине полностью отказаться). Дело вот в чём: производная на "левом" отрезке маленькая, но этого не достаточно, потому что она должна иметь порядок $%o(\varepsilon)$%, а этого не наблюдается. Можно просто всё нормировать, переведя в другой масштаб, то есть умножить на $%1/\varepsilon$%, и тогда станет ясно, что "размазать" производную, сделав её "малой", таким способом не удаётся.

Набранный текст пока удалять не буду. Завтра подумаю ещё на свежую голову.

(4 Фев '14 4:36) falcao

Новый вариант (с новым ответом) представлен выше.

(5 Фев '14 3:23) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×811
×84

задан
3 Фев '14 13:37

показан
2673 раза

обновлен
5 Фев '14 3:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru