|
Расстояние от отеля до пляжа - 100 метров. За какое время турист пройдёт 90% этого пути, если его cкopocть yмeньшaeтcя пpoпopциoнaльнo ocтaвшeмycя пyти, а его изначальная скорость - 1 м/с? задан 3 Фев '14 21:30 
Миша Вербицкий
показано 5 из 10
показать еще 5
|
|
По условию, $%v(t)=k(100-x(t))$% в естественных обозначениях. При $%t=0$% получаем $%k=1/100$%. Приравнивая производные, имеем $%v'(t)=-kx'(t)=-kv(t)$%. Отсюда $%dv/v=-k\cdot dt$%, откуда $%\ln v=-kt+\ln C$%, то есть $%v(t)=Ce^{-kt}$%. С учётом значения скорости в нуле, $%v(t)=e^{-kt}$%. Интегрируем по отрезку $%[0;s]$%, получая $%x(s)=(1-e^{-ks})/k$%; приравниваем к значению 90. Тем самым, $%e^{-ks}=1/10$%, и $%s=100\ln10$%, то есть около 230 секунд. отвечен 4 Фев '14 19:13 
falcao |
А каков при этом коэффициент пропорциональности?
А где автомобиль? Был же. Там у меня получилось 22 часа. Скорость начальная была 50 км/час, расстояние сто км. Остальное условие такое же
Автомобиль был слишком уж скучным. Поделитесь решением?
@epimkin: а как могло получиться 22 часа? Ведь скорость (в старой версии) изначально была 50 км/ч; ниже 5 км/ч она никогда не снижалась, а 90 км даже при такой низкой скорости проходится за 18 часов.
@Миша Вербицкий: я не сразу сообразил, что коэффициент пропорциональности был задан отношением 50/100. При этом для прежней версии задачи у меня вышло $%\ln100$% часов, то есть примерно 4.6.
@falcao, в первой задаче у меня получилось не 22 а 18( в последнем интеграле знак перепутал. А почему к= 50/100. Я его считал из условия, что при х=100 скорость должна быть равна нулю. Или нет? Здесь у меня получилось 900 секунд
Да видно я в дебри полез. Или 230 с
Да, для данной версии получается $%100\ln10$%, то есть примерно 230 секунд.
Ну мы же знаем, что dx/dt = -kx, знаем x(0) и знаем dx/dt(0). Вроде бы всё
@trongsund: не совсем так: $%dx/dt$% равно $%k(100-x)$%. Но там в любом случае получается несложное уравнение с разделяющимися переменными.
@falcao вы не могли бы полное решение написать? спасибо