|
$%a+b+c+d=0 \Rightarrow a^5+b^5+c^5+d^5$% делится на $%30.$% задан 4 Фев '14 0:37 
ASailyan |
|
Достаточно проверить, что $%x^5-x=x(x^2-1)(x^2+1)$% делится на 30 при всех целых $%x$%; для этого достаточно проверить делимость на 2, 3 и 5. Первое очевидно, второе следует из того, что либо $%x$% делится на 3, либо $%x=3y\pm1$% для $%y\in{\mathbb Z}$%, и тогда $%x^2-1$% делится на 3. Для случая делимости на 5 можно прямо сослаться на малую теорему Ферма, но проще применить то же способ. Если $%x$% делится на 5, то всё ясно, если $%x=5y\pm1$%, то $%x^2-1$% кратно 5, если $%x=5y\pm2$%, то $%x^2+1$% кратно 5. отвечен 4 Фев '14 0:51 
falcao Можно записать $%x^5-x$% как $%x(x^2-1)((x^2-4)+5)$%, $%(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)+5(x-1)x(x+1)$%, и воспользоваться фактом, что произведение $%k$% последовательных целых чисел делится на $%k!$%
(13 Апр '15 21:10)
Lyudmyla
|