$%a+b+c+d=0 \Rightarrow a^5+b^5+c^5+d^5$% делится на $%30.$%

задан 4 Фев '14 0:37

10|600 символов нужно символов осталось
3

Достаточно проверить, что $%x^5-x=x(x^2-1)(x^2+1)$% делится на 30 при всех целых $%x$%; для этого достаточно проверить делимость на 2, 3 и 5. Первое очевидно, второе следует из того, что либо $%x$% делится на 3, либо $%x=3y\pm1$% для $%y\in{\mathbb Z}$%, и тогда $%x^2-1$% делится на 3. Для случая делимости на 5 можно прямо сослаться на малую теорему Ферма, но проще применить то же способ. Если $%x$% делится на 5, то всё ясно, если $%x=5y\pm1$%, то $%x^2-1$% кратно 5, если $%x=5y\pm2$%, то $%x^2+1$% кратно 5.

ссылка

отвечен 4 Фев '14 0:51

Можно записать $%x^5-x$% как $%x(x^2-1)((x^2-4)+5)$%, $%(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)+5(x-1)x(x+1)$%, и воспользоваться фактом, что произведение $%k$% последовательных целых чисел делится на $%k!$%

(13 Апр '15 21:10) Lyudmyla

@Lyudmyla: да, конечно, так тоже можно решать.

(14 Апр '15 0:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,128

задан
4 Фев '14 0:37

показан
465 раз

обновлен
14 Апр '15 0:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru