Как провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции

$$f(x)=x-lnx$$

Помогите, пожалуйста.

задан 19 Дек '11 22:15

изменен 19 Дек '11 22:32

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
3
  1. Область определения функции: $%x > 0;$%
  2. Проверка на четность или нечетность: $%f(-x)$% не равна $%f(x)$% и не равна $%-f(x)$% - функция общего вида;
  3. Определение точек разрыва: их нет;
  4. Экстремумы (см. выше), здесь же нужно интервалы убывания и возрастания функции. Они определяются по знаку первой производной в интервале. На интервале $%(0; 1) f'(x)<0$% - функция убывает, на интервале $%(1; \infty) f'(x) > 0$% - функция возрастает
  5. Определяются интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Это по второй производной. Т. к. $%f''(x)$% никогда не равна нулю - точек перегиба нет. Т. к. $%f''(x)$% всегда положительна - интервал области определения является интервалом вогнутости функции.
  6. Необходимо найти асимптоты графика. Вертикальная асимптота - $%x = 0$%. Наклонных асимптот график не имеет.
  7. Можно найти еще точки пересечения с осями координат.
ссылка

отвечен 22 Дек '11 14:43

изменен 22 Дек '11 17:00

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

Сначала берём первую производную: $${f}'(x)=1-\frac{1}{x}$$ Приравниваем её к нулю и решаем уравнение: $$1-\frac{1}{x}=0$$ Решение: $$x=1$$ Теперь берём вторую производную и по её знаку определяем наёденное решение точка минимума (если значение положительное), точка максимума (если значение отрицательное) или точка перегиба при нулевом значении. Вторая производная: $${f}''(x)=\frac{1}{x^2}$$ Подставляем единичку (x=1) во вторую производную: $${f}''(1)=1$$ Число положительное, значит, это минимум. График построил в Маткаде. alt text

Как видно из графика, Маткад согласен, что 1 - это минимум.

ссылка

отвечен 20 Дек '11 0:01

изменен 20 Дек '11 0:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×338
×51

задан
19 Дек '11 22:15

показан
2666 раз

обновлен
22 Дек '11 17:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru