В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с рёбрами AB = 6, AD = 15 и AA1 = 8 проведены два сечения – плоскостью, проходящей через диагональ A1C и плоскостью, проходящей через диагональ B1D. Найдите наибольшее возможное значение суммы площадей поверхностей многогранников, на которые эти сечения разбивают данный параллелепипед. задан 4 Фев '14 19:20 serg55 |
Одна плоскость разбивает параллелепипед на 2 части, а две грани - на 4, то есть у нас будет 4 многогранника. Теперь приблизительно прикинем - от чего зависят площади: так как поверхности многогранников состоят из частей поверхности параллелепипеда (которые не изменяются) и из частей плоскостей-сечений, и нам нужно, чтобы площади их поверхностей были максимальны, то надо, чтобы площади сечений были максимальны - то есть надо найти такое положение для каждой плоскости, в котором ее площадь будет максимальна. Рассмотрим одно из сечений: будем представлять площадь, как $%\frac{1}{2} \times d_{1} \times d_{2} \times sin \beta$% (так как сечение будет четырехугольником в любом случае - возможно, это надо будет доказать). Одна диагональ будет постоянной длины (через которую провели сечение), то есть надо найти максимальную длину второй диагонали и максимальное значение угла (так как синус от $%0^{o}$% до $%90^{o}$% увеличивается прямопропорционально углу): очевидно, что максимальную длину надо рассматривать противоположенных вершинах параллепипеда (например, $%A -C_{1}, B-D_{1}$%), то есть нам нужно будет сравнить две диагонали: $%D_{1}B$% и $%A_{1}C$% (это на примере одного из сечений) - так как четырехугольник при этих диагоналях будет прямоугольником и $%BD_{1}=DB_{1}$%, и $%A_{1}C=DB_{1}$%, то $%A_{1}C=BD_{1}$% - вторая диагональ равна в обоих случаях. Рассмотрим изменение угла между диагоналями, в зависимости от сторон на примере $%D_{1}BB_{1}D$%(представим изначально его, как прямоугльник):
Видно, что при $%D_{1}D \searrow \alpha \searrow , D_{1}D \nearrow \alpha \nearrow $% и $% B_{1}B \searrow \alpha \searrow , B_{1}B \nearrow \alpha \nearrow $% - то есть надо найти четырехугольник с максимально суммой $%D_{1}D$% и $%B_{1}B$%, так как мы можем двигать только точки по $%D_{1}C$% и $%AB$%,а при отдалении точки от $%D_{1}$% - отдаляется точка от $%B$% и при этом увеличиваются боковые стороны прямоугольника - сечения, то максимальная сумма будет достигнута, когда точки совпадут с $%С_{1}$% и $%A$%, то есть максимальный угол (между диагоналями) будет достигнут в четырехугольнике $%AB_{1}С_{1}D$%. Так как диагональ $%C_{1}A$% является самой длинной и является диагональю $%AB_{1}С_{1}D$%, то этот четырехугольник (точнее прямоугольник) будет искомым сечением. Аналогично получаем четырехугольник $%A_{1}BСD_{1}$% для второго сечения. Чтобы найти сумму площадей поверхностей многогранников - надо найти площадь поверхности параллепипеда и двойную площадь найденных прямоугольников - сечений (двойную, так как одна и таже грань будет являться поверхностью в 2-х многогранниках): $%S=2S_{A_{1}BСD_{1}}+2S_{AB_{1}С_{1}D}+S_{пов.}=2 \times 150 +2 \times 150+2\times(48+120+90)=1116$% отвечен 5 Фев '14 0:02 kirill1771 Извиняюсь, за непропорциональность рисунка с условием.
(5 Фев '14 0:16)
kirill1771
@kirill1771: У меня небольшой вопрос. Разве не надо брать две поверхности параллелепипеда, ведь если я Вас правильно понял получается 4 многогранника, в которые по-моему дважды входят площади поверхности параллелепипеда. С уважением.
(5 Фев '14 12:09)
serg55
1
@serg55: как раз грани поверхности параллелепипеда входят по 1-му разу. Например, когда мы разрезаем кусок масла (в форме параллелепипеда), то получается еще два; площадь поверхности обоих будет равна сумме площади поверхности всего масла и удвоенной площади грани разреза - простейший пример. Если еще непонятно, то попытайтесь мысленно представить разделение или про делайте это.
(5 Фев '14 13:15)
kirill1771
2
Можно сказать, что грань разреза входит по одному разу в площадь поверхности каждого куска масла. А грани поверхности куска до разреза разделятся и будут входить один раз.
(5 Фев '14 13:18)
kirill1771
|
При вращении сечения вокруг диагонали параллелепипеда
отвечен 6 Фев '14 16:01 sLvr |