В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 с рёбрами AB = 6, AD = 15 и AA1 = 8 проведены два сечения – плоскостью, проходящей через диагональ A1C и плоскостью, проходящей через диагональ B1D. Найдите наибольшее возможное значение суммы площадей поверхностей многогранников, на которые эти сечения разбивают данный параллелепипед.

задан 4 Фев '14 19:20

изменен 4 Фев '14 19:21

10|600 символов нужно символов осталось
4

Одна плоскость разбивает параллелепипед на 2 части, а две грани - на 4, то есть у нас будет 4 многогранника. Теперь приблизительно прикинем - от чего зависят площади: так как поверхности многогранников состоят из частей поверхности параллелепипеда (которые не изменяются) и из частей плоскостей-сечений, и нам нужно, чтобы площади их поверхностей были максимальны, то надо, чтобы площади сечений были максимальны - то есть надо найти такое положение для каждой плоскости, в котором ее площадь будет максимальна.

Рассмотрим одно из сечений: будем представлять площадь, как $%\frac{1}{2} \times d_{1} \times d_{2} \times sin \beta$% (так как сечение будет четырехугольником в любом случае - возможно, это надо будет доказать). Одна диагональ будет постоянной длины (через которую провели сечение), то есть надо найти максимальную длину второй диагонали и максимальное значение угла (так как синус от $%0^{o}$% до $%90^{o}$% увеличивается прямопропорционально углу): очевидно, что максимальную длину надо рассматривать противоположенных вершинах параллепипеда (например, $%A -C_{1}, B-D_{1}$%), то есть нам нужно будет сравнить две диагонали: $%D_{1}B$% и $%A_{1}C$% (это на примере одного из сечений) - так как четырехугольник при этих диагоналях будет прямоугольником и $%BD_{1}=DB_{1}$%, и $%A_{1}C=DB_{1}$%, то $%A_{1}C=BD_{1}$% - вторая диагональ равна в обоих случаях.

Рассмотрим изменение угла между диагоналями, в зависимости от сторон на примере $%D_{1}BB_{1}D$%(представим изначально его, как прямоугльник): alt text

Видно, что при $%D_{1}D \searrow \alpha \searrow , D_{1}D \nearrow \alpha \nearrow $% и $% B_{1}B \searrow \alpha \searrow , B_{1}B \nearrow \alpha \nearrow $% - то есть надо найти четырехугольник с максимально суммой $%D_{1}D$% и $%B_{1}B$%, так как мы можем двигать только точки по $%D_{1}C$% и $%AB$%,а при отдалении точки от $%D_{1}$% - отдаляется точка от $%B$% и при этом увеличиваются боковые стороны прямоугольника - сечения, то максимальная сумма будет достигнута, когда точки совпадут с $%С_{1}$% и $%A$%, то есть максимальный угол (между диагоналями) будет достигнут в четырехугольнике $%AB_{1}С_{1}D$%. Так как диагональ $%C_{1}A$% является самой длинной и является диагональю $%AB_{1}С_{1}D$%, то этот четырехугольник (точнее прямоугольник) будет искомым сечением.

Аналогично получаем четырехугольник $%A_{1}BСD_{1}$% для второго сечения.

Чтобы найти сумму площадей поверхностей многогранников - надо найти площадь поверхности параллепипеда и двойную площадь найденных прямоугольников - сечений (двойную, так как одна и таже грань будет являться поверхностью в 2-х многогранниках): $%S=2S_{A_{1}BСD_{1}}+2S_{AB_{1}С_{1}D}+S_{пов.}=2 \times 150 +2 \times 150+2\times(48+120+90)=1116$%

alt text

ссылка

отвечен 5 Фев '14 0:02

изменен 5 Фев '14 11:12

Извиняюсь, за непропорциональность рисунка с условием.

(5 Фев '14 0:16) kirill1771

@kirill1771: У меня небольшой вопрос. Разве не надо брать две поверхности параллелепипеда, ведь если я Вас правильно понял получается 4 многогранника, в которые по-моему дважды входят площади поверхности параллелепипеда. С уважением.

(5 Фев '14 12:09) serg55
1

@serg55: как раз грани поверхности параллелепипеда входят по 1-му разу. Например, когда мы разрезаем кусок масла (в форме параллелепипеда), то получается еще два; площадь поверхности обоих будет равна сумме площади поверхности всего масла и удвоенной площади грани разреза - простейший пример. Если еще непонятно, то попытайтесь мысленно представить разделение или про делайте это.

(5 Фев '14 13:15) kirill1771
2

Можно сказать, что грань разреза входит по одному разу в площадь поверхности каждого куска масла. А грани поверхности куска до разреза разделятся и будут входить один раз.

(5 Фев '14 13:18) kirill1771
10|600 символов нужно символов осталось
0

При вращении сечения вокруг диагонали параллелепипеда
другая пара противоположных вершин параллелограмма сечения скользит по противоположным ребрам параллелепипеда,
по ломаной переходя от одной вершины выбранной диагонали к другой через три оставшиеся пары вершин.
Опишем сферу около нашего параллелепипеда (его диагонали - диаметры).
Вершина параллелограмма сечения перемещается по хорде сферы (скрещивается с диаметром) - поэтому максимум площади треугольника, опирающегося на диаметр (=1/2 площади сечения), достигается на сфере (одном из концов хорды).
Остается из трёх пар незанятых вершин параллелепипеда выбрать оптимальную.
Все такие сечения (их три) - прямоугольники.
Остаётся выбрать прямоугольник наибольшей площади.
Очевидная цепочка неравенств закрывает задачу для всех вариантов.
Упорядочим габариты параллелепипеда $$a<=b<=c =>$$ $$S_c^2=c^2(a^2+b^2)=c^2a^2+c^2b^2>=b^2a^2+b^2c^2=b^2(c^2+a^2)=S_b^2>=S_a^2=a^2(b^2+c^2)$$ Искомое сечение проходит через диагонали наименьших граней параллелепипеда (и наибольшие ребра, соответственно).
Ясно, что выбор диагоналей параллелепипеда значения не имеет - они все одинаковы $$вар||a||b||c||sqrt(a^2+b^2)|S_c=csqrt(a^2+b^2)|ab+bc+ca|S=2(ab+bc+ca)+4S_c$$

  1. 3 4 5 5 25 47 194
  2. 5 12 20 13 260 400 1840
  3. 6 8 15 10 150 258 1116
  4. 3 4 10 5 50 82 364
ссылка

отвечен 6 Фев '14 16:01

изменен 8 Фев '14 11:08

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×440

задан
4 Фев '14 19:20

показан
1505 раз

обновлен
8 Фев '14 11:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru