стереометрия - Наибольшее возможное значение суммы площадей

Одна плоскость разбивает параллелепипед на 2 части, а две грани - на 4, то есть у нас будет 4 многогранника. Теперь приблизительно прикинем - от чего зависят площади: так как поверхности многогранников состоят из частей поверхности параллелепипеда (которые не изменяются) и из частей плоскостей-сечений, и нам нужно, чтобы площади их поверхностей были максимальны, то надо, чтобы площади сечений были максимальны - то есть надо найти такое положение для каждой плоскости, в котором ее площадь будет максимальна.

Рассмотрим одно из сечений: будем представлять площадь, как $%\frac{1}{2} \times d_{1} \times d_{2} \times sin \beta$% (так как сечение будет четырехугольником в любом случае - возможно, это надо будет доказать). Одна диагональ будет постоянной длины (через которую провели сечение), то есть надо найти максимальную длину второй диагонали и максимальное значение угла (так как синус от $%0^{o}$% до $%90^{o}$% увеличивается прямопропорционально углу): очевидно, что максимальную длину надо рассматривать противоположенных вершинах параллепипеда (например, $%A -C_{1}, B-D_{1}$%), то есть нам нужно будет сравнить две диагонали: $%D_{1}B$% и $%A_{1}C$% (это на примере одного из сечений) - так как четырехугольник при этих диагоналях будет прямоугольником и $%BD_{1}=DB_{1}$%, и $%A_{1}C=DB_{1}$%, то $%A_{1}C=BD_{1}$% - вторая диагональ равна в обоих случаях.

Рассмотрим изменение угла между диагоналями, в зависимости от сторон на примере $%D_{1}BB_{1}D$%(представим изначально его, как прямоугльник):

Видно, что при $%D_{1}D \searrow \alpha \searrow , D_{1}D \nearrow \alpha \nearrow $% и $% B_{1}B \searrow \alpha \searrow , B_{1}B \nearrow \alpha \nearrow $% - то есть надо найти четырехугольник с максимально суммой $%D_{1}D$% и $%B_{1}B$%, так как мы можем двигать только точки по $%D_{1}C$% и $%AB$%,а при отдалении точки от $%D_{1}$% - отдаляется точка от $%B$% и при этом увеличиваются боковые стороны прямоугольника - сечения, то максимальная сумма будет достигнута, когда точки совпадут с $%С_{1}$% и $%A$%, то есть максимальный угол (между диагоналями) будет достигнут в четырехугольнике $%AB_{1}С_{1}D$%. Так как диагональ $%C_{1}A$% является самой длинной и является диагональю $%AB_{1}С_{1}D$%, то этот четырехугольник (точнее прямоугольник) будет искомым сечением.

Аналогично получаем четырехугольник $%A_{1}BСD_{1}$% для второго сечения.

Чтобы найти сумму площадей поверхностей многогранников - надо найти площадь поверхности параллепипеда и двойную площадь найденных прямоугольников - сечений (двойную, так как одна и таже грань будет являться поверхностью в 2-х многогранниках): $%S=2S_{A_{1}BСD_{1}}+2S_{AB_{1}С_{1}D}+S_{пов.}=2 \times 150 +2 \times 150+2\times(48+120+90)=1116$%