Дан многочлен $%P(x)$% $%=$% $%a_{2n}x^{2n}$% $%+$% $%a_{2n-1}x^{2n-1}$% $%+$% $%...$% $%+$% $%a_{1}x$% $%+$% $%a_{0}$%

,у которого каждый коэффициент $%a_{i}$% принадлежит отрезку от 100 до 101. При каком минимальном $%n$% у такого многочлена может найтись действительный корень?

задан 5 Фев '14 17:06

10|600 символов нужно символов осталось
2

Эта задача сегодня на втором туре областной олимпиады была. Решение, которое я здесь привожу, отличается от авторского.

Поскольку корень здесь может быть только отрицательный, удобно заменить $%P(x)$% на $%P(-x)$% и говорить о положительных корнях, то есть должно выполняться равенство $%a_{2n}x^{2n}+a_{2n-2}x^{2n-2}+\cdots+a_2x^2+a_0=a_{2n-1}x^{2n-1}+\cdots+a_1x$% при некотором $%x > 0$%. Из него следует неравенство $%100(x^{2n}+x^{2n-2}+\cdots+x^2+1)\le 101x(x^{2n-2}+\cdots+x^2+1)$%, и далее вопрос сводится к оценке для наименьшего значения некоторой функции.

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{x^{2n}+x^{2n-2}+\cdots+x^2+1}{x(x^{2n-2}+\cdots+x^2+1)},$$ определённую при $%x > 0$%. Ясно, что $%f(1)=(n+1)/n$%. Достаточно доказать, что $%f(x) > (n+1)/n$% при всех положительных $%x\ne1$%, откуда будет следовать, что при $%n < 100$% значение функции будет больше $%1+1/100$%. То, что число $%n=100$% подходит, очевидно.

Если $%x\ne1$%, то можно домножить числитель и знаменатель дроби на $%x^2-1$%, получая, что $$f(x)=\frac{x^{2n+2}-1}{x(x^{2n}-1)}=\frac{x^{n+1}-x^{-(n+1)}}{x^n-x^{-n}}.$$ Эта функция симметрична относительно замены $%x$% на $%x^{-1}$%, поэтому можно считать, что $%x > 1$%. Далее, заменяя $%x^n$% на $%y$%, мы будем доказывать неравенство $%y^k-y^{-k} > k(y-y^{-1})$% для $%y > 1$%, где $%k=(n+1)/n$%.

Рассматривая функцию $%g(y)=y^k-y^{-k}-ky+ky^{-1}$%, мы замечаем, что $%g(1)=0$%, и тогда нам достаточно проверить, что $%g(y)$% возрастает при $%y > 1$%. Находим производную: $%g'(y)=ky^{k-1}+ky^{-k-1}-k-ky^{-2}=ky^{-k-1}(y^{2k}+1-y^{k+1}-y^{k-1})$%, то есть $%g'(y)=ky^{-k-1}(y^{k+1}-1)(y^{k-1}-1) > 0$% при $%y > 1$%.

ссылка

отвечен 5 Фев '14 20:04

Да, была и я ее не смог решить( В любом случае спасибо Вам!

(5 Фев '14 20:57) SenjuHashirama

А где можно посмотреть авторское решение? Киньте ссылку. Спасибо

(5 Фев '14 21:57) Lyudmyla

Пока еще в сети нет, но через 2-3 дня должно появиться

(5 Фев '14 21:58) SenjuHashirama

@SenjuHashirama: у нас, кстати, её тоже не решил никто (максимум было 2 балла), и это при том, что состав участников был сильный. В частности, был школьник, который в прошлом году (за 10 класс) решил все 8 задач. А последнюю задачу с фишками на доске один из участников решил.

(5 Фев '14 21:58) falcao

@Lyudmyla: у меня в электронном виде есть только условия задач. Решения я видел в отпечатанном варианте, но в электронном виде их у меня нет. В принципе, сейчас это всё уже "рассекречено", и если у меня появится pdf, то я могу Вам прислать.

(5 Фев '14 22:01) falcao

Буду очень признательна! Если можно - на почту!

(6 Фев '14 0:27) Lyudmyla

@Lyudmyla: я не знаю Вашего почтового адреса, но если Вы его сообщите, то я пришлю, как только у меня появятся тексты.

(6 Фев '14 0:41) falcao

Решения появились, здесь на 14ой странице http://olympiads.mccme.ru/vmo/2014/iii-2.pdf

(6 Фев '14 15:19) SenjuHashirama
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×455

задан
5 Фев '14 17:06

показан
618 раз

обновлен
6 Фев '14 16:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru