многочлены - При каком минимальном $%n$% у многочлена есть корень

Эта задача сегодня на втором туре областной олимпиады была. Решение, которое я здесь привожу, отличается от авторского.

Поскольку корень здесь может быть только отрицательный, удобно заменить $%P(x)$% на $%P(-x)$% и говорить о положительных корнях, то есть должно выполняться равенство $%a_{2n}x^{2n}+a_{2n-2}x^{2n-2}+\cdots+a_2x^2+a_0=a_{2n-1}x^{2n-1}+\cdots+a_1x$% при некотором $%x > 0$%. Из него следует неравенство $%100(x^{2n}+x^{2n-2}+\cdots+x^2+1)\le 101x(x^{2n-2}+\cdots+x^2+1)$%, и далее вопрос сводится к оценке для наименьшего значения некоторой функции.

Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{x^{2n}+x^{2n-2}+\cdots+x^2+1}{x(x^{2n-2}+\cdots+x^2+1)},$$ определённую при $%x > 0$%. Ясно, что $%f(1)=(n+1)/n$%. Достаточно доказать, что $%f(x) > (n+1)/n$% при всех положительных $%x\ne1$%, откуда будет следовать, что при $%n < 100$% значение функции будет больше $%1+1/100$%. То, что число $%n=100$% подходит, очевидно.

Если $%x\ne1$%, то можно домножить числитель и знаменатель дроби на $%x^2-1$%, получая, что $$f(x)=\frac{x^{2n+2}-1}{x(x^{2n}-1)}=\frac{x^{n+1}-x^{-(n+1)}}{x^n-x^{-n}}.$$ Эта функция симметрична относительно замены $%x$% на $%x^{-1}$%, поэтому можно считать, что $%x > 1$%. Далее, заменяя $%x^n$% на $%y$%, мы будем доказывать неравенство $%y^k-y^{-k} > k(y-y^{-1})$% для $%y > 1$%, где $%k=(n+1)/n$%.

Рассматривая функцию $%g(y)=y^k-y^{-k}-ky+ky^{-1}$%, мы замечаем, что $%g(1)=0$%, и тогда нам достаточно проверить, что $%g(y)$% возрастает при $%y > 1$%. Находим производную: $%g'(y)=ky^{k-1}+ky^{-k-1}-k-ky^{-2}=ky^{-k-1}(y^{2k}+1-y^{k+1}-y^{k-1})$%, то есть $%g'(y)=ky^{-k-1}(y^{k+1}-1)(y^{k-1}-1) > 0$% при $%y > 1$%.