Фyнкция f(х)=х^2 oблaдaeт ocoбeннocтью: ecли любoй из peгиoнoв A1, A2 (гдe рeгиoн A1 - oблacть, oгpaничeннaя прямoй y=a^2, ocью opдинaт и гpaфикoм f(x)=x^2, a peгиoн A2 - пpямoй x=a, ocью aбcциcc и грaфикoм f(x)=x^2) прoвepнyть вoкpyг ocи opдинaт, тo пoлyчeнный oбъём бyдeт oдинaкoв пpи любых знaчeниях a. Скoлькo сyщecтвyeт пoдoбных фyнкций?

Imgur

задан 6 Фев '14 15:05

изменен 6 Фев '14 21:30

Deleted's gravatar image


126

Если имеется ввиду объем тела вращения, то он, очевидно, увеличивается с ростом a.

(6 Фев '14 16:48) wusan
10|600 символов нужно символов осталось
0

$$V_{A2}=\pi \int_{0}^{a^2}ydy=\frac{\pi a^4}{2}$$ $$V_{A1}=\pi a^4-V_{A2}=V_{A2}$$ Условие равенства объемов может быть записано в виде $$a^2f(a)=4\int_{0}^{a}xf(x)dx,$$ которое выполняется, если $$f(x)=Cx^2,$$ C- любая постоянная. Ответ на комментарий $$\frac{df}{da}=\frac{2f}{a}$$ $$\frac{df}{f}=\frac{2da}{a}$$ $$dlnf=2dlna$$ $$lnf=2lna+C_1=2lna+lnC=ln(Ca^2)$$ $$f(a)=Ca^2,$$ следовательно $$f(x)=Cx^2.$$

ссылка

отвечен 6 Фев '14 17:04

изменен 25 Фев '14 16:08

Семейство парабол дается в описании, что на счёт f(x)=с*x?

(6 Фев '14 19:54) Маша Николаева

Очевидно, что f(x)=cx не удовлетворяет поставленному условию ни при каких с.

(6 Фев '14 20:11) wusan

@wusan а как условие равенства решить?

(25 Фев '14 0:43) Маша Николаева

Для решения интегральных уравнений множество способов существует. В данном случае удобны два способа 1) Метод дифференцирования по параметру "a" обех частей равенства и решение получившегося дифференциального уравнения при условии f(0)=0 2) Метод неопределенных коэффициентов, f(x) представляем в виде степенного ряда и почленно его интегрируем, затем решаем полученную систему алгебраических уравнений для коэффициентов при равных степенях аргумента x.

(25 Фев '14 11:14) wusan

@wusan первым способом получается уравнение $$2af(a)+a^2f'(a)=4af(a)$$?

(25 Фев '14 12:05) Маша Николаева

Большое спасибо

(25 Фев '14 16:02) Маша Николаева
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×670
×113

задан
6 Фев '14 15:05

показан
564 раза

обновлен
25 Фев '14 16:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru