0
1

$$\sqrt[3]{8+x}+ \sqrt[3]{8-x}=1 $$ у меня получилось нет решений, правильно ли это?

задан 6 Фев '14 19:08

Вообще-то решения тут есть. Сейчас попробую написать.

(6 Фев '14 19:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1
ссылка

отвечен 6 Фев '14 19:43

10|600 символов нужно символов осталось
2

Обозначим кубические корни через $%u$%, $%v$% соответственно. Тогда $%u+v=1$%, и при возведении в куб получается $%1=(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)=16+3uv$%, откуда $%uv=-5$%. Тогда, если решение уравнения существует, числа $%u$%, $%v$% по теореме Виета должны быть корнями уравнения $%t^2-t-5=0$%, то есть они равны $%(1\pm\sqrt{21})/2$% в том или ином порядке. Но теперь надо ещё доказать, что этим решениям соответствуют подходящие значения $%x$%. Прямая проверка тут несколько затруднена, поэтому поступаем так.

При $%u=(1+\sqrt{21})/2$%, $%v=(1-\sqrt{21})/2$% положим $%8+x=u^3$%. Мы знаем, что $%u+v=1$%, а также $%uv=-5$%. Тогда из тождества $%(u+v)^3=u^3+v^3+3uv(u+v)$% следует, что $%u^3+v^3=16$%, а это значит, что $%v^3=16-u^3=16-(8+x)=8-x$%, то есть равенство из условия задачи на самом деле имеет место. Вторую проверку можно не производить, так как она симметрична первой: исходное уравнение не меняется при замене $%x$% на $%-x$%.

Чтобы придать ответу более удобный вид, не возводя в куб числа $%(1\pm\sqrt{21})/2$% напрямую, заметим, что $%u^2=u+5$%, откуда $%u^3=u^2\cdot u=u^2+5u=6u+5$%. Тем самым, $%x=u^3-8=6u-3=3(2u-1)=-3\sqrt{21}$%, а второе решение равно $%3\sqrt{21}$%.

ссылка

отвечен 6 Фев '14 19:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×647

задан
6 Фев '14 19:08

показан
552 раза

обновлен
6 Фев '14 19:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru