Три равных окружности проходят через одну точку и попарно пересекаются в трех других точках А, В, и С. Докажите, что треугольник АВС равен треугольнику с вершинами в центрах окружностей

задан 7 Фев '14 15:22

изменен 8 Фев '14 0:56

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Середины отрезков $%OA$%, $%OB$%, $%OC$% являются серединами сторон треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей. Из этого следует, что один и тот же треугольник, будучи увеличен вдвое в своих линейных размерах, будет равен каждому из двух треугольников, о которых спрашивается в условии задачи.

ссылка

отвечен 7 Фев '14 22:25

10|600 символов нужно символов осталось
1

Радиусы треугольников равны, значит дуги $%AO, CO, DO$% для двух попарно пересекающихся окружностей имеют одинаковую меру. По свойству вписанных и центральных углов $%\angle ABC=\frac{\smile OC+\smile OA}2=\angle O_2O_1O_3, \angle ACB=\frac{\smile OB+\smile OA}2=\angle O_2O_3O_1,$%

$% \angle CAB=\frac{\smile OC+\smile OB}2=\angle O_1O_2O_3.$% Так-как $%O_1C=CO_2=OO_2=O_1O=BO_2=O_3B=OO_3=R,$% значит четырёхугольники $%O_1CO_2O,$% и $%O_2BO_3O$% ромбы,отсюда следует, что $%O_1C=OO_2=O_3B, O_1C||OO_2||O_3B.$%

Значит четырёхугольник $%O_1CBO_3,$% параллелограмм и $%O_1O_3=BC.$%

Значит треугольники равны по второму признаку.

alt text

ссылка

отвечен 7 Фев '14 22:48

изменен 8 Фев '14 0:37

1

@ASailyan: по-моему, тут углы можно не рассматривать. Вполне достаточно замечания о ромбах, и тогда получаются нужные параллелограммы: $%O_1C$%, $%OO_2$%, $%O_3B$% равны и при этом параллельны.

(8 Фев '14 0:21) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024

задан
7 Фев '14 15:22

показан
1357 раз

обновлен
8 Фев '14 0:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru